10. Atome de Schrödinger

Ce chapitre recense l’essentiel de la méthode de Frobenius pour le calcul de la fonction radiale de la fonction d’onde ψn,l,m de l’atome d’hydrogène. Les principales propriétés de la fonction Rn,l(r) et ses retombées physiques sont discutées. L’exposé est exhaustif et toute la machinerie mathématique est donnée. Des outils mathématiques dont la compréhension demande un effort significatif et des bases plutôt solides sont nécessaires.Définition 10.1 Atome de Schrödinger. Cadre théorique relatif à l’atome d’hydrogène et aux ions hydrogénoïdes. L’atome ou l’ion, dans ce cadre, est constitué d’un noyau supposé ponctuel et immobile et d’un électron en mouvement non-relativiste. Le système est soluble analytiquement. Ses solutions sont d’une très grande importance.Définition 10.2 Fonction d’onde. Fonction exprimée par \begin{equation} \psi_{n, l, m}(\mathbf{r})=R_{n, l}(r) Y_l^m(\Omega) \end{equation}, où Rn,l(r) est la fonction radiale et \begin{equation} Y_l^m \end{equation} l’harmonique sphérique (Fiche 6, Chap. 8). Les produits \begin{equation} R_{n, l}(r) Y_l^{ \pm m}(\Omega) \end{equation}, une fois combinés ensemble pour une paire de valeurs n, l, donnent lieu à des orbitales atomiques définies réelles (ψn,l,m et Rn,l seront dorénavant notées ψ et R).Définition 10.3 Hamiltonien séparable. Hamiltonien exprimé comme une somme d’opérateurs dont chacun dépend d’une seule variable indépendante (voir aussi Chap. 4, 5 & 9 ; Éqs. (4.5), (5.4), (9.5)).Dans la démonstration qui suit, la séparation entr…