Nombre de systèmes physiques, classiques ou quantiques, possèdent des propriétés de symétrie. Ainsi un atome isolé reste identique à lui-même lors d’une rotation par rapport à un axe passant par le centre de son noyau. Il en est de même pour toute réflexion dans un plan passant également par son centre.
La connaissance des propriétés géométriques fondamentales des transformations de symétrie permet de déterminer certaines propriétés quantiques et d’en avoir ainsi une compréhension approfondie. Or ces opérations de symétrie forment des groupes, au sens mathématique du terme. De plus, la théorie des groupes ne se limite pas aux seuls groupes de symétrie mais s’intéresse également aux permutations qui jouent un rôle fondamental vis-à-vis des propriétés des systèmes de particules identiques. D’autres groupes, plus abstraits, jouent également des rôles importants en mécanique quantique et nous aurons l’occasion de le voir, par exemple, lors de l’étude des spineurs.
Dès 1927, des théoriciens comme Wigner et von Neumann ont fait un large usage de la théorie des représentations des groupes de permutations et de rotations, mettant en évidence les propriétés de l’équation de Schrödinger. La théorie des groupes intervient dès les fondements de la mécanique quantique ainsi que nous le verrons lors de l’étude du moment cinétique. Les applications des groupes se retrouvent en atomistique, spectroscopie, vibrations moléculaires et cristallines, liaisons chimiques, particules élémentaires, etc…