Chapitre 11. Comparaison de deux proportions

Dans une population, on étudie un caractère statistique à deux modalités A et \overline{A}. Chaque individu présente, ou non, la modalité A.
Soit π la proportion (ou la fréquence, ou le pourcentage) d’apparition de A dans la population, et p le pourcentage d’apparition de A observée dans un échantillon de taille n.
Le problème est de savoir si l’on peut considérer l’échantillon comme représentatif de la population, c’est-à-dire si la différence entre les valeurs numériques p et π est explicable par les aléas dus à l’échantillonnage.
Notons P la variable aléatoire qui prend la valeur p sur chaque échantillon de taille n (n est fixé et p varie d’un échantillon à l’autre).L’hypothèse nulle (H0) peut s’écrire :
La fréquence observée p est conforme à la fréquence théorique π.
On calcule la valeur prise par la variable aléatoire du théorème, soit le nombre z=\frac{p-\pi}{\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}}.
Dans ce cas (le plus courant), l’hypothèse alternative (H1) est le contraire de (H0), c’est-à-dire que la différence entre p et π est trop importante pour être explicable par les fluctuations d’échantillonnage.
On lit dans la table 2 le nombre zα tel que P(|Z| ≥ zα) = α .
➤ Si z ∈]− zα, zα[, l’hypothèse (H0) ne peut pas être rejetée.
➤ Si z ∉]− zα, zα[, on écarte (H0) avec une probabilité α de se tromper.
Supposons que la fréquence p observée sur l’échantillon soit a priori supérieure (ou inférieure) à la fréquence théorique π (par exemple, un médicament peut avoir une influence bénéfique ou être sans effet, mais il ne peut pas avoir un effet néfaste)…