Notes

• [1]
  E.N. Lorenz, « Deterministic Nonperiodic Flow », Journal of the Atmospherical Sciences, 20, 1963, p. 130-141.
• [2]
  La notion d’attracteur étrange a été introduite, comme on le verra dans les lignes qui suivent, par David Ruelle et Floris Takens dans un article de 1971 sur la transition vers la turbulence. Depuis, la présence d’un attracteur étrange dans l’espace des phases d’un flot déterministe a été souvent considérée comme étant la signature du chaos déterministe dans un système dissipatif. Il est assez commun de définir un attracteur étrange comme un attracteur ayant une géométrie fractale. Le lecteur pourra se rapporter, par exemple, à E.N. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press, 1993, p. 212. Nous verrons qu’il ne s’agit pas de la définition originaire donnée par Ruelle et Takens dans leur article de 1971.
• [3]
  S. Smale, « Mathematical Problems for the Next Century », Mathematical Intelligencer, 20, 2, 1998, p. 7-15.
• [4]
  La publication qui contient le résultat sous une forme stabilisée est : W. Tucker, « A Rigorous ODE Solver and Smale’s 14^th Problem », Foundations of Computational Mathematics, 2, 1, 2002, p. 53-117.
• [5]
  D. Ruelle & F. Takens, « On the Nature of Turbulence », Communications in Mathematical Physiscs, 20, 1971, p. 167-192.
• [6]
  On entendra ici par « variété » un point, une courbe, une surface, ou un volume ou sa généralisation dans un espace multidimensionnel. Cf. Lorenz, op. cit., 1993, p. 205-213. Dans la suite de ce chapitre, je me référerai au glossaire contenu dans cet ouvrage, si d’autres références ne sont pas explicitées, pour des définitions non techniques de termes de la théorie des systèmes dynamiques et du chaos qui pourraient être inconnus du lecteur.
• [7]
  Un « ensemble de Cantor » est un ensemble de points sur une ligne ou sur une courbe tel qu’entre deux points quelconques on trouve d’autres points de l’ensemble et aussi des trous d’amplitude finie.
• [8]
  E.N. Lorenz, « The Problem of Deducing the Climate from the Governing Equations », Tellus, 16, 1964, p. 1-11 : 10.
• [9]
  Sur l’origine de cette approche dans l’étude du problème de trois corps, on pourra se rapporter au mémoire de Poincaré, Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique, Mémoire couronné du Prix de S.M. le roi Oscar II de Suède, Acta Math., 13, 1890, p. 1-270. Le lecteur pourra aussi voir la suivante littérature, que j’indique de manière non exhaustive : J. Barrow-Green, Poincaré and the Three Body Problem, American Mathematical Society, 1997 ; F. Béguin, « Le mémoire de Poincaré pour le prix du roi Oscar : l’harmonie céleste empêtrée dans les intersections homoclines », in É. Charpentier, É. Ghys & A. Lesne (dir.), L’Héritage scientifique de Poincaré, Belin, 2006, p. 177-209 ; T. Roque, « Stability of Trajectories from Poincaré to Birkhoff : approaching a qualitative definition », Archive for History of Exact Sciences, 65, 2011, p. 295-342.
• [10]
  Il sera utile de préciser que, à l’époque considérée, un comportement turbulent était considéré comme une occurrence de comportement chaotique. La pratique d’usage la plus courante pour reconnaître l’établissement d’un comportement de type chaotique, ou turbulent (termes souvent utilisés comme interchangeables, dans les écrits de l’époque), dans une acception purement temporelle (et non spatio-temporelle), était la détection d’un spectre de puissance continu.
• [11]
  J.P. Gollub & H. Swinney, « Onset of Turbulence in a Rotating Fluid », Phys. Rev. Letters, 35, 14, 1975, p. 927-930.
• [12]
  P. Bergé & M. Dubois, « Time dependent velocity in Rayleigh-Benard convection : a transition to turbulence », Optics Communication, 19, 1976, p. 129-133, et A. Libchaber & J. Maurer, « Local probe in a Rayleigh-Bénard experiment in liquid helium », Journal de Physique - Lettres, 39, 1978, p. 369-372.
• [13]
  Y. Pomeau et al., « Intermittent behavior in the Belousov-Zhabotinsky reaction », Journal de Physique - Lettres, 42, 1981, p. 271-273.
• [14]
  J.B. McLaughlin & P.C. Martin, « Transition to Turbulence of a Statistically Stressed Fluid », Phys. Rev. Letters, 33, 20, 1974, p. 1189-1192.
• [15]
  V. Franceschini & C. Tebaldi, « Sequences of Infinite Bifurcations and Turbulence in a Five- Mode Truncation of the Navier-Stokes Equations », J. Stat. Phys., 21, 1979, p. 707-726.
• [16]
  D. Ruelle, « Où le chaos intervient-il ? », Le chaos. Dossier Pour la Science, janvier 1995.
• [17]
  Le lecteur pourra se rapporter au chapitre IV, dédié au hasard, de H. Poincaré, Science et méthode, Flammarion, 1908.
• [18]
  P. Duhem, La Théorie physique. Son objet, sa structure [1906], Vrin, 2007. J. Hadamard, « Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques », J. Math. Pures et Appl. IV, 1898, p. 27-73 ; Œuvres, II, éd. du CNRS, 1968, p. 729-775.
• [19]
  Duhem, op. cit., 2007, p. 199.
• [20]
  Ibid.
• [21]
  Ibid., p. 200.
• [22]
  Ibid., p. 44.
• [23]
  Ibid.
• [24]
  Ibid.
• [25]
  Ibid., p. 190.
• [26]
  Ibid.
• [27]
  Ibid., p. 204-205.
• [28]
  À ce propos, on pourra consulter le travail de G. Boffetta et al., « Predictability : a way to characterize complexity », Phys. Rep., 356, 2002, p. 367-474.
• [29]
  Dans S. Franceschelli, « Some remarks on the compatibility between determinism and unpredictability », Progress in Biophysics and Molecular Biology, 110, 2012, p. 61-68, j’illustre comment le type de prédictibilité qu’on peut retrouver grâce à la notion de scénario de transition doit prendre en compte des considérations de nature probabiliste.
• [30]
  D. Ruelle, « Idéalisation en physique », in J. Petitot (dir.), Logos et théorie des catastrophes. À partir de l’œuvre de René Thom, Actes du Colloque de Cerisy, Patiño, 1982, p. 337-344.
• [31]
  Telle qu’on la rencontre, par exemple, dans l’approche à la Landau-Hopf, évoquée plus haut, pour la transition vers la turbulence.
• [32]
  Lorenz, op. cit., 1963, p. 130-141.
• [33]
  Il s’agit de D. Fultz et al., « Studies of Thermal Convection in a Rotating Cylinder with Some Implications for Large-Scale Atmospheric Motion », Meteorol. Monographs (American Meteorological Society), 21, 1959, p. 194, et R. Hide, « Some Experiments on Thermal Convection in a Rotating Liquid », Quart. J. Roy. Meteorol. Soc., 79, 1958, p. 161. Dans ces travaux, le système étudié est composé par un récipient cylindrique contenant de l’eau. On fait tourner ce récipient autour de son axe, on le chauffe près de son bord et on le refroidit près de son centre (d’une façon stationnaire et symétrique).
• [34]
  Nous rappelons que les équations rendant compte d’un tel phénomène sont : l’équation de Navier-Stokes, l’équation imposant l’incompressibilité du fluide et l’équation de propagation de la chaleur. Dans une cellule de convection de Rayleigh-Bénard, on enferme le fluide entre deux plaques horizontales, bonnes conductrices de chaleur, la plaque inférieure étant plus chaude que la plaque supérieure. Sous l’effet de la différence de température appliquée à la couche, le fluide plus chaud, donc moins dense, situé au bas de la couche, a tendance à monter, alors que le fluide plus dense du haut de la couche tendra à descendre. Mais cet effet déstabilisant est combattu par l’effet stabilisant de la viscosité et de la diffusivité thermique. L’équilibre entre effets déstabilisants et stabilisants est régi par un nombre sans dimension : le nombre de Rayleigh R_a qui est proportionnel à la différence de température imposée. Les mouvements du fluide n’apparaissent que si la différence de température est assez importante, donc si le nombre de Rayleigh est supérieur à un certain nombre critique R_ac . Au-dessous de ce seuil, l’état stable de la couche fluide est l’état de repos à vitesse nulle. Au-dessus de ce seuil critique R_ac , l’état de repos devient instable au profit d’un nouvel état d’équilibre : l’état convectif. Pour une autre valeur critique du nombre de Rayleigh, encore plus élevée, il est possible d’observer un comportement turbulent (pour plus de détails, on pourra se rapporter à P. Bergé, Y. Pomeau & C. Vidal, L’Ordre dans le chaos, Paris, Hermann, 1984).
• [35]
  B. Saltzman. « Finite amplitude free convection as an initial value problem. I », J. Atmos. Sci.,19, 1962, p. 329-341.
• [36]
  Ce nombre désigne le rapport (sans dimension) de la viscosité cinématique du fluide à sa diffusivité thermique. Il est caractéristique du fluide considéré ; il dépend avant tout de la nature de celui-ci et, dans une moindre mesure, de la température.
• [37]
  Chaque point de l’espace des phases d’un système représente un état instantané possible pour le système. Lorenz connaît l’espace des phases par les auteurs précédemment cités (Poincaré et Birkhoff), ainsi que grâce aux travaux de Gibbs en physique statistique.
• [38]
  G.D. Birkhoff, Dynamical Systems, American Mathematical Society, 1927.
• [39]
  Une trajectoire limite est définie par l’ensemble des points limites d’une trajectoire donnée. Un point limite d’une trajectoire est un point auquel la trajectoire s’approche arbitrairement près et arbitrairement souvent.
• [40]
  Pour les preuves des théorèmes évoqués, Lorenz renvoie à V.V. Nemytskii & V.V. Stepanov, Qualitative theory of differential equations, Princeton, 1960.
• [41]
  Lorenz, op. cit.,1963, p. 132.
• [42]
  Ibid., p. 136, tableau 1.
• [43]
  Pour suivre dans les détails la description de Lorenz : ibid., p. 137.
• [44]
  Ibid., p. 137, figure 1 dans l’original.
• [45]
  Soulignons que l’utilisation du verbe « sembler » est de Lorenz. On peut interpréter l’emploi par Lorenz, ici et dans les lignes qui suivent, de termes comme « semble » et « apparemment » comme l’expression de son étonnement face au comportement qu’il voit se dessiner grâce aux valeurs des variables X, Y et Z calculées numériquement.
• [46]
  Lorenz, op. cit., 1963, p. 136, tableau 2.
• [47]
  Une « coupe de Poincaré » ou « section de Poincaré » est une section transversale de l’espace des phases d’un flot qui est intersectée par la majorité de ses orbites.
• [48]
  Une « application de premier retour », ou « application de Poincaré » est une itération dont l’espace des phases est une section de Poincaré de l’espace des phases d’un flot, et dans laquelle les images successives d’un point sont définies par les intersections successives d’une orbite du flot avec la section de Poincaré.
• [49]
  Lorenz, op. cit., 1963, p. 139.
• [50]
  Ibid., p. 140.
• [51]
  Impossibilité qui tient au théorème d’existence et d’unicité.
• [52]
  Lorenz, op. cit., 1963, p. 140.
• [53]
  Lorenz, op. cit., 1964.
• [54]
  Lorenz évoque le fait que, très vraisemblablement, le temps des 12 000 ans passés ne ressemble pas à celui des 12 000 ans précédents.
• [55]
  Lorenz, op. cit., 1964.
• [56]
  Comme évoqué dans la section précédente, nous avons aujourd’hui à ce sujet, pour les systèmes hyperboliques, les théorèmes de shadowing.