Corrigé du problème 2.1.1.1 page 81.On a
En opérant \mathrm{L}_1-\mathrm{L}_2 nous obtenons
puis
et en divisant par z_1-z_2 qui est non nul
Il en vient que
Remplaçons alors dans L_1 z_1 par -\frac{b}{a}-z_2 :
D’où ^{\prime}-\mathrm{a} z_1 z_2+\mathrm{c}=0 et
On a en développant
D’abordSi \alpha était égal à \beta, alors \omega serait solution de l’équation précédente: c’est impossible puisque \omega \notin\{-1 ; 0 ; 1\} (raisonnement par l’absurde).
Les deux solutions \alpha et \beta doivent vérifier
soit encore
Premierement, à l’aide de \omega^5=1 :
D’où
et \mathrm{b}=1. Deuxièmement, toujours a a l’aide de \omega^5=1 :
et \mathrm{c}=-1. Ainsi z^2+z-1=0 admet pour solutions \alpha et \beta.
On a
Cette derniere valeur est donc solution de z^2+z-1=0. Or les solutions de cette équation sont \frac{\sqrt{5}-1}{2} et \frac{-\sqrt{5}-1}{2}. La deuxième solution, négative, ne peut être égale à 2 \cos \left(\frac{2 \pi}{5}\right) qui est positif. Ainsi
etOn a, par exemple à l’aide de la formule de duplication
D’où
et
Il en résulte que
et
Maintenant
et
On a
etClairement \mathrm{CO}=\frac{1}{2} puis
Nous savons que M est sur le cercle trigonométrique. Si nous sommes capables de placer un point d’abscisse \cos \left(\frac{2 \pi}{5}\right), la verticale passant par ce point coupera le cercle trigonométrique en M et Q (l’affixe de Q est la conjuguée de celle de M )…