Chapitre 3. Énoncés détaillés et solutions des problèmes

On cherche dans cet exercice à étudier un instrument à vent de section non uniforme. Pour simplifier l’étude, on se restreindra à des sections variant de façon exponentielle. Nous serons amenés en particulier à étudier la propagation du son dans une telle géométrie.
Afin d’établir l’équation de propagation d’une onde acoustique dans un fluide initialement au repos dans le tube, on cherche à exprimer les bilans de masse et de quantité de mouvement dans l’écoulement.1.a) À quelle condition sur la section peut-on se ramener à un problème unidimensionnel ? Sur quel système va-t-on préférentiellement effectuer des bilans ?1.b) Donner l’équation de conservation de la masse.1.c) On suppose l’écoulement parfait. Exprimer l’équation de bilan de quantité de mouvement le long de l’axe du tube.
On s’intéresse ensuite à la propagation d’une faible perturbation. On cherche donc à développer ces équations linéairement.2.a) Supposons que la perturbation créée par le passage de l’onde, par rapport à l’état du fluide au repos, reste faible. Quelles conditions sur la pression, la densité et la vitesse cela impose-t-il ? Faire un développement au premier ordre des deux bilans obtenus.2.b) Comment relier la variation de la densité avec la variation de la pression ?2.c) Obtenir l’équation d’onde pour la pression et la vitesse. Évaluer la célérité des ondes.
On considère une onde plane se propageant dans le tube.3.a) En décomposant cette onde en modes sinusoïdaux, trouver la relation de dispersion…