Notes

• [1]
  Un exemple d’une telle relation est la condition d’orthonormalité a_i · a_j = a²δ_ij, valable pour des vecteurs primitifs appropriés du réseau de Bravais cubique simple.
• [2]
  On pourra trouver une présentation détaillée de ce sujet dans M. J. Buerger, Elementary Crystallography, Wiley, New York, 1963.
• [3]
  Dans ce chapitre, nous envisagerons un réseau de Bravais comme une structure cristalline formée en plaçant en chaque point d’un réseau de Bravais abstrait un motif de symétrie la plus grande possible (telle qu’une sphère centrée sur le point du réseau) de telle sorte qu’aucune symétrie du réseau de Bravais ne soit perdue par insertion du motif.
• [4]
  Opérations qui préservent la distance entre tous les points du réseau.
• [5]
  Nous éviterons le langage mathématique de la théorie des groupes, puisque nous n’utiliserons pas les conclusions analytiques auxquelles elle mène.
• [6]
  Une réflexion par rapport à un plan remplace un objet par son symétrique par rapport à ce plan, comme dans un miroir ; une inversion par rapport à un point P transforme le point de coordonnées r (avec P pris pour origine) en –r. Tous les réseaux de Bravais ont une symétrie d’inversion en tout point du réseau (problème 1).
• [7]
  Noter qu’une translation de vecteur appartenant au réseau (différent de 0) ne laisse aucun point invariant.
• [8]
  Nous verrons plus bas qu’une structure cristalline générale peut posséder des degrés de symétrie supplémentaires qui ne sont pas de type (1), (2) ou (3). Ils sont appelées « axes hélicoïdaux » et « plans de glissement ».
• [9]
  Deux groupes ponctuels sont identiques s’ils contiennent précisément les mêmes opérations. Par exemple, l’ensemble de toutes les opérations de symétrie d’un cube est identique à l’ensemble de toutes les opérations de symétrie d’un octaèdre régulier, comme on peut le voir en inscrivant correctement l’octaèdre dans un cube (figure 7.2a). D’autre part, le groupe de symétrie du cube n’est pas équivalent au groupe de symétrie du tétraèdre régulier. Le cube possède plus d’opérations de symétrie (figure 7.2b).
• [10]
  L’équivalence de deux groupes d’espace de réseaux de Bravais est une notion quelque peu plus subtile que l’équivalence de deux groupes ponctuels (bien que les deux se réduisent au concept d’« isomorphisme » dans la théorie des groupes abstraits). Il ne suffit plus de dire que deux groupes d’espace sont équivalents s’ils possèdent les mêmes opérations, car les opérations de groupes d’espace identiques peuvent différer sans conséquence visible. Par exemple, deux réseaux de Bravais cubiques de constantes de réseau a et a′ sont considérés comme possédant les mêmes groupes d’espace bien que les translations dans l’un soient de pas a, alors que celles de l’autre de pas a′. De manière similaire, nous voudrions considérer tous les réseaux de Bravais hexagonaux simples comme possédant les mêmes groupes d’espace, quelle que soit la valeur de c/a, qui n’affecte clairement pas la symétrie totale de la structure.
  Nous pouvons contourner ce problème en remarquant que, dans de tels cas, on peut déformer continûment un réseau d’un type donné en un autre du même type sans jamais perdre en chemin aucune opération de symétrie. Ainsi, on peut dilater uniformément les axes du cube de a à a′, en maintenant toujours la symétrie cubique simple, ou dilater (ou réduire) l’axe c (ou l’axe a), en maintenant toujours la symétrie hexagonale simple. Donc, deux réseaux de Bravais possèdent le même groupe d’espace s’il est possible de transformer continûment l’un en l’autre de telle sorte que toute opération de symétrie du premier est transformée continûment en une opération de symétrie du second, et s’il n’existe aucune opération de symétrie du second qui ne puisse être ainsi obtenue à partir de celles du premier.
• [11]
  Autre que l’identité (qui laisse le réseau où il se trouve) qui est toujours comptée parmi les éléments d’un groupe de symétrie.
• [12]
  Des valeurs particulières de ces angles peuvent introduire des symétries supplémentaires, auquel cas le réseau peut être en réalité l’un des trois types cubiques. Voir, par exemple, le problème 2(a).
• [13]
  Si l’on essaie de produire de nouveaux réseaux de Bravais par des déformations du réseau hexagonal simple, on constate que changer l’angle entre deux vecteurs primitifs d’égales longueurs perpendiculaires à l’axe c conduit au réseau orthorhombique à bases centrées, que changer aussi leurs longueurs mène au monoclinique, et qu’incliner l’axe c par rapport à la perpendiculaire mène, en général, au triclinique.
• [14]
  La notion de hiérarchie des symétries d’un système cristallin demande quelques explications. Sur la figure 7.7, chaque système cristallin est plus symétrique qu’aucun de ceux que l’on peut atteindre à partir de lui en suivant les flèches ; autrement dit, le groupe ponctuel correspondant du réseau de Bravais ne possède pas d’opération qui ne soit pas déjà dans les groupes à partir desquels on puisse l’atteindre. Il apparaît une légère ambiguïté dans cette description puisque les quatre paires cubique-hexagonal, tétragonal-hexagonal, tétragonal-trigonal, et orthorhombique-trigonal ne sont pas reliées par les flèches. Ainsi, on peut imaginer un objet dont toutes les opérations de symétrie appartiendraient à la fois aux groupes tétragonal et trigonal mais à aucun groupe plus bas que ceux-ci. On pourrait dire du groupe de symétrie d’un tel objet qu’il appartient au système tétragonal ou bien trigonal, puisqu’il n’y aurait aucun système unique de symétrie plus basse. Il se trouve, cependant, à la fois dans ce cas, ainsi que dans les trois autres cas ambigus, que tous les éléments de symétrie communs aux deux groupes d’une paire ambigüe appartiennent également à un groupe situé plus bas dans la hiérarchie. (Par exemple, tout élément commun à la fois au groupe tétragonal et au groupe trigonal appartient aussi au groupe monoclinique.) Il y a donc toujours un unique groupe de symétrie plus basse.
• [15]
  C est mis pour « cyclique », D pour « diédral », et S pour « spiegel » (miroir). Les indices h, v et d sont mis pour « horizontal », « vertical » et « diagonal », et font référence au placement des plans miroir par rapport à l’axe d’ordre n, considéré vertical. (Les plans « diagonaux » dans D_nd sont verticaux et coupent en deux les angles entre les deux axes d’ordre 2.)
• [16]
  En insistant sur les différences entre axes d’ordre pair et impair, le système international, contrairement à celui de Schoenflies, traite l’axe d’ordre 3 comme un cas particulier.
• [17]
  Toute opération qui transforme un objet chiral en son image dans un miroir est appelée impropre. Toutes les autres sont propres. Des opérations contenant un nombre impair d’inversions ou de symétries par rapport à un plan sont impropres.
• [18]
  Bien que le groupe ponctuel trigonal soit contenu dans le groupe ponctuel hexagonal, le réseau de Bravais trigonal ne peut pas être obtenu à partir du réseau hexagonal simple par une distorsion infinitésimale. (À la différence de toutes les autre paires de systèmes reliées par des flèches dans la hiérarchie des symétries de la figure 7.7.) Le groupe ponctuel trigonal est contenu dans le groupe ponctuel hexagonal parce que le réseau de Bravais trigonal peut être vu comme un réseau hexagonal simple avec un motif à trois points consistant en
  \(\mathbf{0}\ ;\frac{1}{3}\mathbf{a}_{1},\frac{1}{3}\mathbf{a}_{2},\frac{1}{3}\mathbf{c}\ ;\quad\mathrm{et}\quad\frac{2}{3}\mathbf{a}_{1},\frac{2}{3}\mathbf{a}_{2},\frac{2}{3}\mathbf{c}.\)
  Il en résulte que placer un motif avec un groupe ponctuel trigonal dans un réseau de Bravais hexagonal produit un groupe d’espace différent de celui que l’on aurait obtenu en plaçant le même motif dans un réseau trigonal. Ceci ne se retrouve dans aucun autre cas. Par exemple, un motif de symétrie tétragonale placé dans un réseau cubique simple donne exactement le même groupe d’espace que s’il avait été placé dans un réseau hexagonal simple (à moins qu’il n’y ait une relation particulière entre les dimensions de l’objet et la longueur de l’axe c). Ceci se reflète physiquement dans le fait qu’il existe des cristaux à motif trigonal dans des réseaux de Bravais hexagonaux, mais aucun de motif tétragonal dans des réseaux de Bravais cubiques. Dans ce dernier cas, il n’y aurait rien dans la structure d’un tel objet pour faire en sorte que l’axe c ait la même longueur que les axes a ; si le réseau restait cubique, ce serait une pure coïncidence. En revanche, un réseau de Bravais hexagonal simple ne peut pas être déformé continûment en un réseau trigonal, et peut donc être mis dans sa forme hexagonale simple même pour un motif de seule symétrie trigonale.
  Puisque les groupes ponctuels trigonaux peuvent caractériser une structure cristalline avec un réseau de Bravais hexagonal, les cristallographes soutiennent parfois qu’il n’existe que six systèmes cristallins. La cristallographie insiste en effet sur la symétrie ponctuelle plutôt que sur la symétrie de translation. Cependant, du point de vue des groupes ponctuels des réseaux de Bravais, il existe incontestablement sept systèmes cristallins : les groupes ponctuels D_3d et D_6h sont tous les deux des groupes ponctuels de réseaux de Bravais, et ne sont pas équivalents.