Notes

• [1]
  Le lecteur familier de la théorie des perturbations stationnaires pourrait penser que s’il n’y a pas de dégénérescence exacte, on peut toujours prendre les différences entre les niveaux très grandes par rapport à U en considérant un U très petit. Cela est en effet vrai pour tout k donné. Cependant, une fois donné un U précis, aussi petit soit-il, on veut une procédure valable pour tout k dans la première zone de Brillouin. Nous allons voir que, pour un U aussi petit qu’il soit, nous pouvons toujours trouver quelques valeurs de k pour lesquelles les niveaux non perturbés sont plus proches les uns des autres que U. Donc, ce que nous faisons est plus subtil que la théorie conventionnelle des perturbations dégénérées.
• [2]
  Dans les inégalités de cette forme, U désignera une composante de Fourier typique du potentiel.
• [3]
  Nous utilisons l’équation (8.34), \(U_{-\mathbf{K}}=U_{\mathbf{K}}^{*}\).
• [4]
  À deux dimensions, m ne peut pas dépasser 2, mais à trois dimensions il peut être très grand.
• [5]
  Celles-ci sont en relation étroite avec les équations de la théorie dégénérée des perturbations, auxquelles elles se réduisent lorsque tous les \(\mathcal{E}_{\mathbf{k}-\mathbf{K}_{i}}^{0}\) sont rigoureusement égaux, i = 1, ⋯ ,m. (Voir L. D. Landau et E. M. Lifshitz, Mécanique quantique, Mir, 1975, p. 164.)
• [6]
  Le numérateur est explicitement d’ordre U², et comme seules les valeurs de K différentes de K₁, ⋯, K_m interviennent dans la somme, il n’est pas d’ordre U lorsque \(\mathcal{E}\) est proche de \(\mathcal{E}_{\mathbf{k}-\mathbf{K}_i}^0,i=1,\cdots,m\).
• [7]
  Remarquer que la règle empirique pour revenir de (9.19) à la forme plus précise (9.18) consiste simplement à remplacer U par U’, où
  \(U_{\mathbf{K}_j-\mathbf{K}_i}^{^{\prime}}=U_{\mathbf{K}_j-\mathbf{K}_i}+\sum\limits_{\mathbf{K}\neq\mathbf{K}_1,\cdots,\mathbf{K}_m}\frac{U_{\mathbf{K}_j-\mathbf{K}}U_{\mathbf{K}-\mathbf{K}_i}}{\mathcal{E}-\mathcal{E}_{\mathbf{k}-\mathbf{K}}^0}\cdot\)
• [8]
  Un faisceau de rayons X incident subit une réflexion de Bragg uniquement si son vecteur d’onde se trouve sur un plan de Bragg (voir chapitre 6).
• [9]
  Ce résultat est souvent, mais pas toujours, vrai lorsque le potentiel périodique n’est pas faible, car les plans de Bragg occupent des positions de symétrie assez élevée.
• [10]
  Pour simplifier, nous supposons ici que U_K est réel (le cristal possède une symétrie d’inversion).
• [11]
  Ceci se déduit de la démonstration de la page 187 selon laquelle une surface d’énergie constante est perpendiculaire aux plans de Bragg quand ils se coupent, dans l’approximation des électrons presque libres.
• [12]
  Nous ne prenons pas en considération les points se trouvant sur les plans de Bragg, qui s’avèrent être communs aux surfaces de deux ou plusieurs zones. Nous définissons les zones en termes de leurs points intérieurs.
• [13]
  La représentation de la surface de Fermi dans le schéma des zones répétées est la plus générale. Après avoir examiné chaque branche dans toute sa splendeur périodique, on peut prendre la maille primitive représentant, de la manière la plus claire, la structure topologique de l’ensemble (qui est souvent, mais en aucun cas toujours, la première zone de Brillouin).
• [14]
  Une autre procédure consiste à translater les morceaux de la surface de Fermi de la première zone en utilisant les vecteurs du réseau réciproque qui déplacent les morceaux de la n^e zone dans laquelle ils se trouvent, vers la première zone. (De telles translations existent puisque la n^e zone est une maille primitive.) Ceci est illustré sur la figure 9.9. La surface de Fermi dans le schéma des zones répétées est donc construite en translatant les structures de la première zone qui en résultent par tous les vecteurs du réseau réciproque.
• [15]
  Supposer que le potentiel périodique U possède la symétrie d’inversion, de telle sorte que les U_K soient réels.