Notes

• [1]
  L’un des efforts les plus récents d’une démonstration systématique se trouve dans J. Zak, Phys. Rev. 168, 686 (1968). Les références aux travaux les plus récents y sont indiquées. Un traitement très séduisant des électrons de Bloch dans un champ magnétique (sans doute le domaine le plus difficile dans lequel démontrer le modèle semi-classique) est donné par R.G. Chambers, Proc. Phys. Soc. 89, 695 (1966), qui construit explicitement un paquet d’ondes dépendant du temps dont le centre se déplace le long de l’orbite déterminée par les équations du mouvement semi-classiques.
• [2]
  Nous utiliserons le terme d’« électrons de Bloch » pour désigner des « électrons dans un potentiel périodique général ».
• [3]
  Voir page 9.
• [4]
  Voir page 167.
• [5]
  Pour une vision unifiée de tels phénomènes, voir L. Brillouin, Wave Propagating in Periodic Structures, Dover, New York, 1953.
• [6]
  Voir page 167. Le résultat est prouvé dans l’appendice E.
• [7]
  Si g est appréciable seulement dans un voisinage de k petit comparé aux dimensions de la zone, alors ψ_nk(r₀) variera peu sur ce domaine, et, en tant que fonction de k, \(\bar{g}\) ne différera que peu d’une constante multipliée par g.
• [8]
  Dans la suite, nous parlerons d’un électron comme possédant à la fois une position et un vecteur d’onde. Nous faisons en fait, bien sûr, référence à un paquet d’ondes, comme décrit plus haut.
• [9]
  Les équations du mouvement semi-classiques (12.6) préservent cette équivalence à mesure que le temps évolue. Si r(t), k(t) sont une solution pour la n^e bande, alors r(t), k(t) + K le sont aussi pour tout vecteur du réseau réciproque K, en raison de la périodicité de \(\mathcal{E}_n(\mathbf{k})\).
• [10]
  Ceci suppose que les interactions du spin des électrons avec tout champ magnétique soit sans conséquence ; dans le cas contraire, chaque population de spin donne une contribution à n donnée par la moitié de (12.7) où \(\mathcal{E}_n(\mathbf{k})\) doit inclure l’énergie d’interaction du spin donné avec le champ magnétique.
• [11]
  Bien que le champ périodique du réseau joue un rôle crucial dans les équations semi-classiques (par l’intermédiaire de la structure de la fonction \(\mathcal{E}_n(\mathbf{k})\) déterminée par ce potentiel), ce rôle ne peut être celui d’une force dépendant de la position. Pour étudier une force possédant la périodicité du réseau, il faudrait localiser un électron à l’intérieur d’une seule maille primitive. Une telle localisation n’est pas cohérente avec la structure du paquet d’ondes qui sous-tend le modèle semi-classique (voir figure 12.1), le paquet d’ondes s’étendant sur de nombreux sites du réseau.
• [12]
  Cette condition est violée à chaque fois que le vecteur d’onde de l’électron libre franchit un plan de Bragg, puisque l’électron saute alors d’une bande d’électron libre inférieure à une bande supérieure.
• [13]
  Une justification rudimentaire est donnée dans l’appendice J.
• [14]
  Il est aussi parfois nécessaire de prendre en compte d’autres effets quantiques dus à la possibilité d’orbites électroniques fermées dans l’espace des k dans un champ magnétique. Ces effets peuvent être traités par une ingénieuse extension du modèle semi-classique, et ce n’est donc pas une limitation dans le sens des restrictions décrites ci-dessus. Le problème se pose dans la théorie de l’effet de Haas-van Alphen et des phénomènes qui lui sont associés, et est décrit au chapitre 14.
• [15]
  Voir, par exemple, les références données dans la note 1.
• [16]
  Plus généralement, les énergies devraient être si inférieures au potentiel chimique μ comparées à k_BT que la fonction de Fermi devrait être indistinguable de l’unité dans toute la bande.
• [17]
  Voir l’appendice H où l’on prouve que le théorème s’applique au mouvement semi-classique. D’un point de vue quantique, l’inertie des bandes remplies est une simple conséquence du principe d’exclusion de Pauli : la « densité dans l’espace des phases » ne peut augmenter si chaque niveau contient le nombre maximum d’électrons permis par le principe de Pauli ; de plus, si les transitions interbandes sont interdites, la densité ne peut non plus décroître, car le nombre d’électrons dans un niveau ne peut être réduit que s’il existe des niveaux incomplètement remplis dans la bande pour que ces électrons s’y déplacent. Cependant, par cohérence logique, il est nécessaire de démontrer que cette conclusion découle également directement des équations du mouvement semi-classiques, sans réinvoquer la théorie quantique sous-jacente que le modèle est censé remplacer.
• [18]
  Le temps t′ n’est pas nécessairement plus grand que t ; autrement dit, les régions à partir desquelles Ω_t a évolué possèdent le même volume que Ω_t, ainsi que les régions vers lesquelles Ω_t évolue.
• [19]
  Les collisions ne peuvent pas non plus altérer cette stabilité des bandes remplies, à condition que nous retenions notre hypothèse de base (chapitre 1, page 7 et chapitre 13, page 290) selon laquelle, quels que soient leurs autres effets, les collisions ne peuvent altérer la distribution des électrons lorsqu’elle a sa forme d’équilibre thermique. Car une fonction de distribution de valeur constante 1/4π³ est précisément la forme d’équilibre à température nulle pour toute bande dont l’énergie est située en dessous de l’énergie de Fermi.
• [20]
  Le théorème est prouvé dans l’appendice I. Les fonctions périodiques dans ce cas sont \(\mathcal{E}(\mathrm{k})\) pour j, et \(\left(\mathcal{E}(\mathbf{k})\right)^2\) pour \(\mathrm{j}\mathcal{E}\).
• [21]
  Par exemple, c’est seulement au voisinage des plans de Bragg que les niveaux d’ondes planes de différents vecteurs d’onde sont le plus fortement mélangés dans l’approximation des électrons presque libres (chapitre 9).
• [22]
  Avec un champ électrique de l’ordre de 10^–2 V.cm^–1 et un temps de relaxation de l’ordre de 10^–14 s, eEτ/ħ est, de l’ordre de 10^–1 cm^–1. Les dimensions de la zone sont de l’ordre de 1/a ~ 10⁸ cm^–1.
• [23]
  Ce n’est pas nécessairement l’ensemble des niveaux d’énergies inférieures à \(\mathcal{E}_F\), puisque nous nous intéressons aux configurations hors équilibre qu’apportent les champs appliqués.
• [24]
  Remarquons que ceci contient, comme cas particulier, le fait qu’une bande remplie ne peut transporter aucun courant, car une bande remplie n’a pas de niveaux inoccupés et donc pas de porteurs fictifs positifs.
• [25]
  Si la géométrie de la région inoccupée de l’espace des k devient trop complexe, l’image des trous devient cependant d’une utilité limitée.
• [26]
  La composante de l’orbite dans l’espace réel parallèle au champ n’est pas si simplement décrite. En prenant le champ le long de l’axe z, nous avons
  \(z(t)=z(0)\ +\ \int_{0}^{t}v_{z}(t)\mathrm{d}t\ ;\quad v_{z}=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial{\mathcal E}}{\partial\ k_{z}}\)
  En contraste avec le cas des électrons libres, v_z n’est pas nécessairement constante (même si k_z l’est). Donc, le mouvement d’un électron le long du champ n’est pas nécessairement uniforme.
• [27]
  Les quantités A et T dépendent de l’énergie \(\mathcal{E}\) de l’orbite et de son plan qui est spécifié par k_z où l’axe z est pris le long du champ.
• [28]
  Voir page 15 et l’équation (1.18). L’équation (12.43) est obtenue à partir du résultat général (12.42) dans le problème 1.
• [29]
  Le lecteur versé dans la théorie électromagnétique reconnaîtra dans w la vitesse du référentiel dans lequel le champ électrique s’annule.
• [30]
  Pour un électron libre, \(\bar{\mathcal{E}}\) est simplement l’énergie de l’électron dans le référentiel qui se déplace à la vitesse w (à une constante additive indépendante de k près).
• [31]
  En appliquant l’analyse précédente des champs E et H perpendiculaires à la théorie de l’effet Hall et de la magnétorésistance, nous nous restreignons à des géométries suffisamment symétriques disposées, par rapport aux axes cristallins, de telle sorte qu’à la fois le champ électrique appliqué et le champ de Hall soient perpendiculaires au champ magnétique. Cependant, des conclusions similaires peuvent être obtenues par les méthodes plus élaborées du chapitre 13, dans le cas général.
• [32]
  Voir le paragraphe qui suit l’équation (12.9).
• [33]
  Concrètement, nous supposons que les niveaux occupés sont tous situés sur des orbites fermées. Si ce sont les niveaux inoccupés, nous pouvons faire appel à la discussion sur les trous pour jusitifier essentiellement la même analyse, à l’exception du fait que la densité de courant sera donnée par j = + n_tev, où n_t est la densité de trous, et v la vitesse moyenne qu’un électron obtiendrait en un temps τ moyennée sur tous les niveaux inoccupés.
• [34]
  Voir l’équation (1.4). L’analyse qui suit est tout à fait similaire dans l’esprit à la démonstration de Drude de la conductivité en régime continu du chapitre 1. Nous calculerons le courant transporté par une seule bande, puisque les contributions de plus d’une bande s’ajoutent simplement.
• [35]
  En écrivant la limite de champ fort sous cette forme, nous interprétons cette limite comme un τ grand à H fixé, plutôt que comme un H grand à τ fixé. Montrer que le même terme principal émerge dans ce dernier cas, ou estimer la valeur de ω_c pour laquelle le terme principal commence à dominer, nécessite une analyse quelque peu plus profonde. Nous remarquons tout d’abord que si le chap électrique était nul, alors la contribution globale au courant moyen du terme proportionnel à Δk dans (12.50) s’annulerait en calculant la moyenne sur les orbites occupées (puisque à la fois j et w doivent s’annuler lorsque E = 0). Lorsque E ≠ 0, Δk ne s’annule plus après calcul de la moyenne sur les orbites, car le remplacement de \(\mathcal{E}\) par \(\bar{\mathcal{E}}\) (Éq. (12.48)) déplace toutes les orbites dans l’espace des k dans la même direction générale. On le constate le plus simplement dans le cas des électrons libres, puisque si \(\mathcal{E}(\mathbf{k})=\hbar^{2}k^{2}/2m,\ \ \bar{\mathcal{E}}(\mathbf{k})\) est alors donné (à une constante additive près sans conséquence dynamique) par \(\bar{\mathcal{E}}(\mathbf{k})=\hbar^2(\mathbf{k}-m\mathbf{w}/\hbar)^2/2m\). Ainsi, après une moyenne sur toutes les orbites, Δk ne donne plus zéro, mais mw/ħ. Il découle de (12.50) que la contribution de Δk à la vitesse moyenne v, après une moyenne sur toutes les orbites, est (mw/ħ)(ħc/eH)(1/τ) = w/(w_cτ). C’est plus petit de 1/ω_cτ que le terme principal w. Ainsi, la forme limite (12.51) devient vraiment valable lorsque les orbites peuvent être parcourues de nombreuses fois entre des collisions. Pour une structure de bandes générale, la moyenne de Δk est plus complexe (par exemple, elle dépend de l’orbite particulière), mais on peut s’attendre à ce que l’estimation d’électrons libres donne le bon ordre de grandeur si m est remplacé par une masse effective convenablement définie.
• [36]
  Puisque (12.51) et (12.52) sont manifestement différentes, il ne peut y avoir aucune bande dans laquelle toutes les orbites (occupées et inoccupées) sont des courbes fermées. Le lecteur versé en topologie est invité à déduire directement ce résultat de la périodicité de \(\mathcal{E}(\mathbf{k})\).
• [37]
  Ce résultat très général n’est rien d’autre qu’une manière compacte d’exprimer la dominance dans le courant de la vitesse de dérive w à la limite de champ fort. Il est valable pour une structure de bandes tout à fait générale en raison précisément du fait que les équations semi-classiques préservent le rôle fondamental que joue w dans la théorie des électrons libres. Il n’est plus valable (voir plus bas) lorsque certaines orbites d’électrons ou de trous sont ouvertes, car w ne domine plus le courant en champ fort.
• [38]
  Voir la table 1.4, la figure 1.4, et la page 65.
• [39]
  Voir page 14.
• [40]
  Dans la théorie des électrons libres, la magnétorésistance est indépendante de l’intensité du champ magnétique (page 15).
• [41]
  Puisque la vitesse avec laquelle l’orbite est parcourue est proportionnelle à H (Éq. (12.41)).
• [42]
  Remarquons que, lorsque E = 0, cette contribution doit encore donner zéro après une moyenne sur toutes les orbites ouvertes (puisque j et w sont nuls) et ainsi, il doit exister des orbites ouvertes de directions opposées dont les contributions se compensent. En présence d’un champ électrique, cependant, les orbites dirigées de manière à extraire de l’énergie du champ deviennent plus peuplées aux dépens de celles dirigées de manière à perdre de l’énergie (figure12.10). Cette différence de population est proportionnelle à la projection de la vitesse de dérive w le long de la direction de l’orbite dans l’espace des k, ou, de manière équivalente, à la projection de E le long de la direction de l’orbite dans l’espace réel. C’est la source de la dépendance en \(\mathbf{\hat{n}}\cdot\mathbf{E}\) dans (12.56).
• [43]
  Dans l’expérience (figure 12.11), la composante de E suivant j est précisée. Cependant, en régime permanent, il y a aussi un champ de Hall perpendiculaire à j (voir page 14), ce qui rend possible l’annulation de \(\mathbf{E}\cdot\mathbf{\hat{n}}\) à la limite de champ fort.
• [44]
  Des orbites ouvertes ou (problème 4) une compensation. Dans la théorie des électrons libres, la magnétorésistance est indépendante du champ.
• [45]
  La forme (12.71) ne nécessite pas, en général, que chaque bande soit une bande d’électrons libres, niais seulement que le champ magnétique soit situé le long d’un axe de symétrie suffisante.
• [46]
  La théorie semi-classique d’un électron dans un champ électrique uniforme n’est pas exacte en dépit de ce théorème, car les coefficients dans la combinaison linéaire des niveaux de Bloch dépendent, en général, du temps ; ainsi, des transitions interbandes pourront survenir.