Notes

• [1]
  Selon le Petit Robert : entités identiques = entités parfaitement semblables tout en étant distinctes, et indiscernable = qui ne peut être distingué d’une entité de même nature.
• [2]
  Les atomes de ¹⁶O et de ¹⁸O ont un spin 2 (état ³P₂, cf. § 16.2.2) et l’état fondamental est 5 fois dégénéré. Si nécessaire, on peut lever cette dégénérescence par effet Zeeman dans un champ magnétique.
• [3]
  Nous avons procédé à une légère modification de la notation, car la notation pourrait être ambiguë : la particule 1 est dans l’état d’impulsion , et non
• [4]
  Si l’on admet que θ_ab est indépendant de a et b : θ_ab = θ_ba = θ, et il en découle directement exp(2iθ) = 1, exp(iθ) = ±1.
• [5]
  La construction explicite de ces quatre sous-espaces est donnée dans Ballentine [1998], chapitre 17 ou Peres [1993], chapitre 5.
• [6]
  En fait, les sous-espaces invariants forment des “rayons généralisés”, et tous les vecteurs d’un tel sous-espace sont physiquement équivalents. En effet, d’après le lemme de Schur, les opérateurs invariants sous les permutations sont des multiples de l’identité dans les sous-espaces invariants, et leur valeur moyenne dans ces sous-espaces est indépendante du choix du représentant du “rayon généralisé”. En particulier, l’évolution temporelle conserve les sous-espaces invariants car le hamiltonien est invariant sous toute permutation : voir Messiah et Greenberg [1964]. En fait, s’il existait des particules identiques dont les états soient partiellement symétriques, on pourrait les transformer en bosons ou fermions en ajoutant des nombres quantiques supplémentaires, voir la note 8 et l’exercice 14.5.1 : l’adjonction de la couleur permet aux quarks d’être des fermions.
• [7]
  Toutefois, Peres [1993], chapitre 5, montre que les “parastatistiques” se heurtent à de sérieuses difficultés d’interprétation physique, ce qui justifie le postulat de symétrisation. On peut aussi invoquer l’argument topologique mentionné ci-dessus pour se restreindre au cas des fermions et des bosons.
• [8]
  On peut faire le rapprochement avec l’énoncé très élémentaire du théorème de Fermât et la complexité de la preuve d’A. Wiles. Pour une tentative intéressante (mais pas entièrement concluante) de donner une démonstration élémentaire du théorème spin-statistique, voir Berry et Robbins [1997]. Un résultat partiel est donné au § 19.5.3.
• [9]
  Pour des états à trois particules et plus, le vecteur d’état n’est pas en général le produit d’une fonction d’onde d’espace symétrique (ou antisymétrique) par un vecteur d’état de spin également symétrique (ou antisymétrique). Dans le cas de trois spins 1/2, l’état de spin total S = 3/2 est complètement symétrique, mais les deux états de spin total S = 1/2 sont partiellement symétriques. Si la fonction d’onde spatiale est partiellement symétrique, on peut dire d’une certaine façon que le vecteur d’état global devient complètement symétrique (ou antisymétrique) en ajoutant un nombre quantique de spin.
• [10]
  Voir par exemple Cohen-Tannoudji et al. [1973], complément B_X.
• [11]
  Du point de vue de la thermodynamique, le système de fermions que nous considérons est un système à température nulle T = 0. Le niveau de Fermi est aussi le potentiel chimique, puisqu’à température nulle le potentiel chimique est l’énergie nécessaire pour ajouter une particule. À température non nulle, la probabilité d’occupation des niveaux au-dessus du niveau de Fermi est différente de zéro, et le potentiel chimique ne coïncide plus avec le niveau de Fermi.
• [12]
  Afin de simplifier les notations, nous supposons que les fermions sont polarisés, de façon à pouvoir négliger les degrés de liberté de spin. Il est aussi possible de considérer des fermions de spin zéro, ce qui serait évidemment absurde dans une théorie invariante de Lorentz. En revanche, une théorie invariante de Galilée s’accommode parfaitement de fermions de spin zéro.
• [13]
  Si H⁽¹⁾ est le hamiltonien pour un seul fermion, on peut par exemple prendre comme fonctions les fonctions propres d’un hamiltonien à une particule.
  
• [14]
  λ_T est la longueur d’onde de de Broglie d’une particule dont l’énergie ∼ kT. Le facteur 2π est conventionnel.
• [15]
  On a aussi obtenu des condensats avec de l’hydrogène polarisé et des atomes d’⁴He dans un état métastable.
• [16]
  En revanche, la somme sur α est donnée par une intégrale sur qui converge à trois dimensions d’espace, cas où reste fini, mais qui diverge à deux dimensions, auquel cas il n’y a pas de condensation.
• [17]
  La valeur μ = 0 est valable à la limite thermodynamique. Pour N fini, μ ∼ 1/N (cf. Huang [1963], chapitre 12 ou Le Bellac et al. [2004], chapitre 5).
• [18]
  On rappelle que la fonction de Riemann ζ(n) est définie par
  
  avec ζ(3/2) ≃ 2.612, ζ(2) = π²/6 ≃ 1.645, ζ(3) ≃ 1.202.
• [19]
  Un calcul exact de mécanique statistique d’équilibre avec le potentiel exact donneraitun état stable formé de molécules. Les condensats de Bose-Einstein sont des états métastables. Pour former des molécules, il faut passer par l’intermédiaire de collisions à troiscorps afin de conserver l’énergie-impulsion, et ces collisions sont très peu probables à faible densité.
• [20]
  Le pseudo potentiel et les conditions de sa validité sont étudiées très en détail dans Huang [1963], chapitre 13.
• [21]
  Une introduction lumineuse au concept de fonction d’onde macroscopique est donnée dans Feynman et al. [1965], vol. III, chapitre 21.
• [22]
  Cette équation intervient dans de nombreux domaines de la physique : mécanique des fluides, propagation dans les fibres optiques, etc.
• [23]
  Cette transformation est identique à celle utilisée pour obtenir les états comprimés dans le § 17.2.1.
• [24]
  La réaction nucléaire a aussi une petite probabilité de se produire dans un état ns, n ≠ 1, c’est-à-dire pour des états où la probabilité de présence est non nulle à l’origine, mais cela ne change pas l’argument.
• [25]
  Le deutéron a aussi une petite composante d’onde d, et donc une composante ³D₁, mais cela n’affecte en rien l’argument.
• [26]
  La désintégration e⁻ + e⁺ → ϒ est interdite par la conservation de l’énergie-impulsion.
• [27]
  L’autre état doit se désintégrer en trois photons. Le “boson de Higg” découvert au CERN en juillet 2012 se désintégrant en 2 photons ne peut pas avoir un spin 1.
• [28]
  28. Les corrélations de polarisation des deux photons ont été mesurées par Wu et Shaknow [1950], qui ont pu vérifier que la parité de l’état fondamental était bien −1.
• [29]
  Born, Bogoliubov, Green, Kirkwood et Yvon.