Notes

• [1]
  Combinant les équations (17.7) et (17.8), on obtient aussi, avec ω ± ck
  
  La dépendance temporelle est donce(t) = e0 exp(±iωt) b(t) = b0 exp(±iωt)
• [2]
  Afin d’alléger les notations, nous abandonnons l’indice cl jusqu’à (17.25), aucune confusion n’étant possible.
• [3]
  Nous utilisons la notation pour le potentiel électrique (ou potentiel scalaire), afin de ne pas créer de confusion avec l’énergie potentielle V : une particule de charge q dans le potentiel a une énergie potentielle .
• [4]
  cf. Weinberg [1995], chapitre 8.
• [5]
  Étant donné que ce hamiltonien est indépendant du temps, on peut le calculer à t = 0.
• [6]
  Ce remplacement est ambigu dans l’expression (17.38) du hamiltonien, car classique-ment AA^∗ = A^∗A, et on doit passer par (17.41) pour procéder correctement. En revanche, il n’y a pas de problème pour les champs qui sont linéaires en A et A^∗.
• [7]
  L’application des principes de la mécanique analytique auchamp électromagnétique montre que le moment conjugué de A_i est −ε₀E_i ; voir par exemple Weinberg [1995].
• [8]
  Voir l’exercice 17.5.3. On trouvera un traitement détaillé par exemple dans Le Bellac [1988], chapitre 9 ou Itzykson et Zuber [1980], chapitre 4.
• [9]
  D’un point de vue technique, les contre-termes qui éliminent les infinis sont contraints par l’invariance de Lorentz, si le choix de jauge respecte cette invariance formelle.
• [10]
  Cette invariance de Lorentz formelle est manifeste en notation quadri-dimensionnelle (voir (19.13)) : ∂_µA^µ = 0, .
• [11]
  Une faible partie de ce déplacement (−27 MH_z˴ 3 %) est due, non aux fluctuations du champ électromagnétique, mais à celles du champ électron-positron. La création de paires (virtuelles) électron-positron a un effet d’écran sur le champ coulombien et agit comme une constante diélectrique du vide. L’effet est beaucoup plus important pour les atomes muoniques : cf. l’exercice 15.4.3 et la note 37 du chapitre 1.
• [12]
  Cette approximation est valable dans le cas des rayon X, dont l’énergie va de 1 à 100 keV.
• [13]
  Cet argument utilise la distribution de Planck, qui contient implicitement le concept de photon : en effet, la probabilité d’occupation d’un mode du champ électromagnétique est donnée par la théorie quantique de l’oscillateur harmonique. Il n’est donc pas surprenant que l’on puisse en déduire l’émission spontanée.
• [14]
  On doit prendre le champ électromagnétique (17.33) à t = 0, c’est-à-dire dans le point de vue de Schrödinger car nous utilisons le point de vue de Schrödinger dans les calculs perturbatifs et les opérateurs et doivent être pris dans ce point de vue. Dans les § 17.3.1 à 17.3.3, la dépendance par rapport au temps du champ classique est fiée par une source externe, celle qui produit l’onde électromagnétique incidente, alors que le champ quantifié est indépendant de toute source extérieure.
• [15]
  En toute rigueur, on doit préciser que l’on se place dans le référentiel où l’atome initial est au repos. La conservation de l’énergie implique dans ce référentiel
  

  

  Le deuxième terme est l’énergie de recul, qui a été discutée au § 15.3.3. En général, cette énergie de recul est négligeable : tout se passe comme si l’atome était infiniment lourd, M_at → ∞.
• [16]
  Afin de simplifier les formules, nous ne tenons pas compte du spin, dont on montre facilement qu’il ne joue aucun rôle.
• [17]
  Dans le cas général d’un état initial i de moment angulaire (j_i, m_i) et d’un état final f de moment angulaire (j_f, m_f), on utilisera le théorème de Wigner-Eckart pour exprimer l’élément de matrice des composantes sphériques D_q de sous la forme (17.117).
• [18]
  Le produit scalaire de deux vecteurs et est donné en fonction de leurs coodonnées sphériques par

  
• [19]
  Les facteurs supposés “voisins de l’unité” de ce type d’estimation ne le sont pas toul’estimation ci-dessus diffère de la valeur exacte (17.135) par un facteur (8∕3)(4∕9)⁴ ˴1∕10!
• [20]
  En effet, l’expérience n’utilise pas directement des fentes d’Young, mais un interfé-romètre de Talbot-Lau.
• [21]
  La légère différence par rapport à (17.48) est absorbée dans une redéfinition de la phase des états atomiques.
• [22]
  Cette terminologie a l’origine suivante : un état d’énergie E évolue comme exp(−iEt∕ħ) = exp(−iωt). En fait, ce signe moins est une convention, mais il est choisi une fois pour toutes.
• [23]
  Nous utilisons a et b plutôt que i et f, car cette notation sera réservée aux états du champ. La notation (a, b)sera reconduite dans la section suivante.
• [24]
  Cette expérience était à l’origine destinée à mesurer le diamètre angulaire des étoiles.
• [25]
  En anglais : photon bunching et photon antibunching.
• [26]
  Cet exercice est adapté d’une présentation de B.Duplantier, Séminaire H. Poincaré, mars 2002.
• [27]
  Voir par exemple Jackson [2001], section 8.1.
• [28]
  Une référence récente est Mohiden et Roy [1998].La précision des mesures de l’effet Casimir est actuellement de l’ordre de 1 %,et les mesures confirment la validité de la formule théorique.
• [29]
  Voir par exemple Omnès [1994], chapitre 11.