19. Mouvement dans un champ de force centrale - Champs newtoniens

L’ objet de ce chapitre est l’étude du mouvement d’un point matériel soumis à une force centrale conservative et plus particulièrement à une force newtonienne. Les champs newtoniens sont de première importance puisqu’ils régissent les mouvements des planètes autour du Soleil et qu’ils interviennent lors de l’interaction entre deux particules chargées.
Soient M(m) un point matériel étudié dans le référentiel \mathcal{R} galiléen et O un point fixe de \mathcal{R}. On note \overrightarrow{O M} son vecteur position, \vec{v} sa vitesse, \vec{p}=m \vec{v} sa quantité de mouvement, \vec{a} son accélération et \vec{L}_O=\overrightarrow{O M} \wedge m \vec{v} son moment cinétique en O.M est soumis à la force \vec{f} supposée être une force centrale conservative de centre O.
La force \vec{f} est alors colinéaire au vecteur \overrightarrow{O M} et les coordonnées adaptées au problème sont les coordonnées sphériques d’origine O. En posant r=\|\overrightarrow{O M}\| et \vec{u}_r=\frac{\overrightarrow{O M}}{r}, la force s’écrit:
Une force conservative dérive d’une énergie potentielle E_p définie par la relation :
Comme \vec{f} est dirigée selon \vec{u}_r, l’énergie potentielle ne dépend que de r et la projection de la relation précédente sur \vec{u}_r devient:
Le problème est à symétrie sphérique de centre O. La force et l’énergie potentielle ne dépendent que de la coordonnée radiale r.
Dans ce paragraphe, on décrit les forces centrales conservatives les plus courantes…