III. Mesures de probabilité

Dans ce chapitre, nous définissons les notions de base des probabilités, à savoir, ce que sont une mesure de probabilité et une variable aléatoire. Il ne faut pas perdre de vue que les mathématiques ne proposent au mieux qu’un modèle de certains mécanismes réels. La définition mathématique d’une variable aléatoire est choquante à première vue, puisque nous verrons qu’il n’y a absolument rien d’aléatoire et de variable dans cette définition ! Mais à l’usage, nous verrons que le calcul des probabilités que l’on peut développer à partir de cette définition coïncide avec l’intuition que l’on peut avoir en observant des phénomènes qualifiés d’aléatoires.
L’axiomatique que nous présentons ici est essentiellement due à Kolmogorov (1903-1987). C’est la plus communément utilisée. Ce n’est pas la seule possible. Il en existe de nombreuses autres et l’on pourra utilement consulter l’ouvrage de Fine (1973) à ce propos.
L’objet de cette section est de transcrire une partie des notions introduites dans les chapitres précédents en termes probabilistes, définissant ainsi les notions fondamentales du calcul des probabilités. Nous commençons par définir ce qu’est une probabilité.En particulier, si μ est une mesure sur (Ω, ) avec 0 < μ(Ω) < ∞, on voit que P = μ/μ(Ω) est une probabilité.
Si P est une probabilité, observons que P est à valeurs dans [ 0, 1 ] puisque pour tout ensemble A mesurable, P(A) ≤ P(Ω) = 1. De plus, P(∅) = 0.
Donnons à présent quelques exemples de mesures de probabilité…