Chapitre 7. Espaces L^p et moment d’une variable aléatoire

Soit un espace muni d’une mesure µ définie sur  , tribu sur Ω. L’espace sera le corps des réels ou des complexes. On commence par définir les espaces et les quantités k · kp, pour 0 < p ≤ +∞.Définition 7.1.1 Soit p ∈ ℝ̅, avec 0 < p ≤ +∞, et le corps des réels ou des complexes.
où |f| désigne la valeur absolue dans le cas réel et le module dans le cas complexe. Nous noterons . Le cas p = +∞ donne lieu aux définitions suivantes :
Nous noterons avec la convention inf ∅ = +∞. Les éléments de sont dits essentiellement bornés.
Remarquons que si . Nous allons donner quelques propriétés des espaces .Proposition 7.1.2 L’espace est un -espace vectoriel, pour tout 0 < p ≤ +∞.Preuve : Voir [4, proposition 9.1, théorème 9.5].
Nous introduisons la notion d’exposants conjugués : il s’agit de réels p, q > 1, satisfaisant à , alors on pose q = +∞, et inversemment.Proposition 7.1.3 Inégalité de Hölder. Soient p, q ∈ [1, +∞] exposants conjugués satisfaisant à . Alors, et on a quePreuve : Voir [4, théorème 9.1, proposition 9.6].Proposition 7.1.4 Inégalité de Minkowski. Soient . Alors, et on a quePreuve : Voir [4, théorème 9.2, théorème 9.5].
Ainsi, est une semi-norme, puisque l’inégalité triangulaire est donnée par l’inégalité de Minkowski et que l’on voit facilement que pour tout λ ∈ . En revanche, est équivalent à f = 0 µ-p.p., et donc, n’est pas une norme.
Soit un espace muni d’une mesure µ définie sur  , tribu sur Ω. Nous souhaitons travailler dans des espaces normés, et même de Banach (i…