I.1.1. On suppose que α est croissante sur [a, b], a ⩽ c ⩽ b, α est continue en c, f(c) = 1 et f(x) = 0 pour x ≠ c. Prouver que et .I.1.2. On suppose que f est continue sur [a, b], a < c < b, α(x) = 0 si x ∈ [a, c[ et α(x) = 1 si x ∈ [c, b]. Prouver que .I.1.3. Soit 0 < a < b et
Trouver les intégrales de Riemann supérieure et inférieure de f sur [a, b].I.1.4. Soit a > 0 et
Trouver les intégrales de Riemann supérieure et inférieure de f sur [−a, a].I.1.5. Prouver que la fonction dite de Riemann,
est Riemann-intégrable sur tout intervalle [a, b].I.1.6. On note f : [0 , 1] → ℝ la fonction définie par
Prouver que .I.1.7. Prouver que f : [0 , 1] → ℝ définie par
est Riemann-intégrable sur [0, 1].I.1.8. On définit
Prouver que bien que n’existe pas.I.1.9. Prouver que si f et α ont un point commun de discontinuité dans [a, b], alors n’existe pas.I.1.10. Prouver que si existe, alors sur [a, b] et
Prouver aussi que cette égalité est vérifiée pour toute fonction f continue sur [a, b].I.1.11. Prouver que si f est bornée et α est continue sur [a, b], alors si et seulement si existe.I.1.12. Soit
où c < d et c ⩽ α(x∗) ⩽ d. Montrer que si la fonction f, bornée sur [a, b], est telle qu’au moins une des fonctions f ou α est continue à gauche en x∗ et l’autre continue à droite en x∗, alors etI.1.13. On suppose que f est continue sur [a, b] et que α est une fonction en escalier , autrement dit qu’elle est constante sur les sous-intervalles …