Chapitre 5. Intégration

Le but est d’obtenir une approximation d’une intégrale définie du type
pour une certaine fonction f : [a, b] → ℝ trop compliquée pour a priori déterminer la valeur de J à la main. Des méthodes d’approximations déterministes et probabilistes seront introduites pour obtenir une approximation \tilde{J} de J.
— méthodes classiques (rectangles, trapèzes et Simpson)
— méthode de Monte-Carlo
— vitesse de convergence
— statistiques
La méthode des rectangles est basée sur la définition de l’intégrale au sens de Riemann.
La première étape est de découper l’intervalle [a, b] en N intervalles [xn, xn+1] de même taille \delta=\frac{b-a}{N} \textit {, i.e. } x_n=a+n \delta \text { pour } n \in\{0,1, \ldots, N-1\}. La seconde étape consiste à supposer que la fonction f est constante sur chaque intervalle [xn, xn+1], donc à faire l’approximation
pour \tilde{x}_n une certaine valeur à choisir dans l’intervalle [xn, xn+1]. Le choix de \tilde{x}_n peut par exemple être fait par \tilde{x}_n=x_n+\alpha \delta \text { avec } \alpha \in[0,1] . Finalement l’approximation de J est donnée par la somme des approximations de Jn,
En supposant que ƒ ∈ C1([a, b]), alors il est possible de montrer que la méthode des rectangles converge et que sa vitesse de convergence est d’ordre un. Une méthode numérique est dite d’ordre k si l’erreur entre l’approximation numérique et le résultat exact est de l’ordre de N−k.a) Choisir une fonction continue f : [a, b] → ℝ et définir la fonction Pytho…