Cet exercice est fondamental pour la suite.1 – L’intervalle de temps propre dτ , entre deux événements P et Pʹ infiniment proches sur la ligne d’univers d’un point matériel, est le temps mesuré par une horloge liée au point matériel entre P et Pʹ : par définition, cet intervalle de temps propre est tel que, en notant ds, la distance spatio-temporelle, on a ds = c dτ. Dans notre cas, les deux événements ayant lieu au même point d’espace, dx1 = dx2 = dx3 = 0, on a2(a) – La distance d𝓁, mesurée par l’observateur en A, sera égale à la moitié du temps que met le photon pour faire l’aller-retour multipliée par c. La distance spatiotemporelle séparant les deux événements que constituent l’envoi en A et le retour en B du signal est nulle : elle s’écrit
avec (i, j) ∈ ⟦1, 3⟧2. Les coordonnées spatiales de A et B étant fixes, on trouve, lorsqu’elles existent, deux racines réelles à l’équation précédente,
correspondant aux sens aller et retour de propagation entre A et B. Le produit de ces deux racines étant
avec g00 > 0, et gij dxi dxj < 0, les deux racines sont de signes opposés. Supposons alors que et on peut dire que le photon part de A en , arrive en B en x0, et revient en A en (voir figure 3.1).Ainsi, l’intervalle de temps coordonnée en A, entre le départ et le retour du photon, s’écrit
Le temps propre dτ, mesuré par A, sera donc tel que
ou encore2(b) – L’observateur A déduit la distance d&#x1D4C1; qui est
Les composantes covariantes du tenseur métrique de l’espace tridimensionnel, notée…