Complément A_V. Quelques propriétés des opérateurs S et W²

Dans le cadre du groupe de Poincaré, examinons quelles sont les relations de commutation des composantes de S entre elles. L’égalité (V-43), qui confère à S toutes les caractéristiques d’un moment cinétique dans le cadre du groupe de Galilée, devient pour le groupe de Poincaré :
où :
(γ est obtenu en permutant i et j dans β et en changeant le signe). La relation :
donne ici :Dans le second membre, le terme en , impair par échange des indices n et p, disparaît par sommation sur ces indices. Pour calculer les autres termes, on utilise les égalités :
et il vient :
soit :
La règle énoncée plus haut pour le calcul de γ donne β = γ, et il ne reste à calculer que δ :
(le dernier terme du second membre, impair par échange de m et de p, disparaît par sommation).
Pour finir, reportant dans (V-86) les valeurs de α, β, γ et δ, nous obtenons :
Ces relations montrent que, dans un sous-espace propre commun à H et P (le spin commute avec ces observables), l’opérateur S obéit aux relations de commutation habituelles du moment cinétique. Les valeurs propres de S2 sont donc de la forme S(S + 1)ℏ2.Pour simplifier, nous nous sommes placés au § B-2-e du chapitre V dans un repère galiléen où l’impulsion est nulle, ce qui permet d’arriver rapidement à la relation (V-87) et de trouver les valeurs propres de S2, puis de les égaler à celles de W2. Mais nous avons vu qu’un tel repère galiléen n’existe pas toujours ; il faut pour cela que la masse M ne soit pas nulle, alors que le ca…