Le groupe de Lorentz dit “propre” est le groupe des transformations d’un quadrivecteur d’espace-temps que l’on peut obtenir par produits de rotations et transformations de Lorentz pures. Un quadrivecteur est caractérisé par ses 4 coordonnées de temps et d’espace ct, x, y, z, où les 3 dernières coordonnées sont celles d’un vecteur r de l’espace ordinaire à 3 dimensions. Les transformations du groupe de Lorentz propre laissent invariante la norme c2t2 − x2 − y2 − z2 du quadrivecteur, et sont toutes connectées à la transformation identité par un chemin continu (leur groupe est connexe).
Le groupe SL(2, C) est le groupe des matrices 2 × 2 à éléments complexes dont le déterminant est égal à l’unité. Il contient le sous-groupe SU(2) des matrices 2 × 2 unitaires, sur lequel nous reviendrons lors de l’étude des rotations (cf. complément AVII). Le but de ce § 1 est de montrer qu’il existe une correspondance entre toute matrice de SL(2, C) et une transformation de Lorentz propre, telle qu’au produit des matrices associées à deux matrices corresponde le produit des transformations. Cette correspondance n’est pas biunivoque, et fournit donc un homomorphisme plutôt qu’un isomorphisme.
Nous revenons sur cette correspondance au complément AVII, dans le cas particulier de la correspondance entre rotations et matrices de SU(2). Nous y montrons que deux matrices opposées de SU(2) correspondent à la même rotation de SO(3), et donc que la représentation des rotations est bivaluée (§ A-5 du chapitre VII)…