Dans ce complément, nous montrons comment les équations d’ondes établies dans le chapitre VI peuvent être vues comme découlant d’un principe variationnel utilisant un lagrangien, qui est une fonctionnelle dépendant des composantes de la fonction d’onde.
Au § B-2 du chapitre I, nous avons discuté les équations de Lagrange concernant un système physique décrit par un ensemble discret de coordonnées généralisées qi (i = 1, 2,…, N). Mais les variables qui décrivent un champ φ(r) en chaque point r de tout l’espace dépendent de l’indice continu r, de sorte que la situation est différente ; il nous faut examiner ce que deviennent le principe de moindre action ainsi que les équations de Lagrange dans ce cas.
Un champ peut avoir plusieurs composantes qui constituent ses variables dynamiques (un champ scalaire a une seule composante, un champ vectoriel trois composantes, etc.). Nous appelons φj(r) ces variables dynamiques, qui dépendent de la composante j ainsi que de l’indice continu que constitue le point r dans l’espace réel. Nous commencerons par établir les équations de Lagrange pour un champ réel.
Le lagrangien L d’un champ réel est la somme des contributions de tous les r, et donc l’intégrale dans tout l’espace réel :
d’une densité de lagrangien ℒ. Cette dernière est une fonctionnelle des diverses composantes du champ φj(r) et de leurs dérivées partielles par rapport à t et aux composantes de r, que nous notons :
Pour un champ vectoriel, i = x, y, z ; nous utilisons les notations concises suivantes pour les dérivées …