Notes

• [1]
  Pierre est malheureusement décédé en octobre 1992 dans l’Anapurna. Il m’avait donné avec sa gentillesse habituelle cette photo en juillet de cette année. Il apporte à ce livre une touche de tristesse et un clin d’œil d’éternité.
• [2]
  Cette équation s’écrit
  
  Ici, la dérivée par rapport au temps est prise en suivant la parcelle fluide dans son mouvement, et l’opérateur divergence de est donné par :
  
  où les dérivées ∂/∂x_i sont des dérivées partielles par rapport aux variables d’espace.
• [3]
  Nous l’écrivons ici dans le cadre d’une simplification très fréquente, où la viscosité dynamique μ est supposée constante (ceci est correct si l’écoulement n’est pas trop compressible ou trop chauffé)
  
  Dans ce système d’équations, u_i et g_i sont les trois composantes de , et
  
  est l’opérateur laplacien. La dérivée par rapport au temps est toujours prise en suivant le mouvement de la parcelle fluide, comme si c’était un point matériel. On peut démontrer que
  
  relation qui permet d’exprimer la dérivée en suivant le mouvement de la parcelle fluide en fonction des dérivées partielles par rapport au temps et à l’espace. On a une relation analogue pour la masse volumique dans l’équation de continuité :
  
• [4]
  Comme toute approche théorique d’un problème, ceci n’est justifié que par de bonnes confrontations expérimentales.
• [5]
  Le mathématicien Fourier, né à Auxerre, faisait partie de l’expédition de savants français envoyés en Égypte par Bonaparte pour étudier ce pays. Il fut ensuite préfet de l’Isère, où il s’impliqua beaucoup dans l’éducation des enfants à l’école, puis préfet du Rhône pendant les Cent-Jours. Il partit enfin à Paris et termina sa vie secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences. Comme le fait remarquer l’article très bien documenté du mathématicien J.P. Kahane [118], il subit toujours l’opposition de Lagrange, et ne rentra à l’Académie que plusieurs années après la mort de ce dernier (1813) et avec le soutien de Legendre. Son élection dut aussi être entérinée par le roi.
• [6]
  On rappelle que γ = C_p/C_v est le rapport des chaleurs spécifiques à pression et volume constant. Pour l’air dans les conditions ambiantes, on a γ = 1,4.
• [7]
  On parlera d’interactions non linéaires. Cette dénomination est justifiée par le fait que le terme de transport, du_i/dt, contient des termes en u_j(∂u_i/∂x_j), quadratiques par rapport à la vitesse.
• [8]
  Par simple application du théorème de Stokes.
• [9]
  William Thomson de son vrai nom, anobli comme Lord Kelvin. C’est un homonyme de J.J. Thom-son, développeur de tubes à choc, qui obtiendra plus tard le prix Nobel de physique en 1906, pour des découvertes sur la nature corpusculaire de la matière (voir Kubbinga [125]).
• [10]
  Le facteur 2 a été ajouté pour correspondre à une vorticité égale au rotationnel de la vitesse (voir plus bas).
• [11]
  On pourrait d’ailleurs imaginer dans le cas de la figure 2.5 un « vorticimètre » constitué d’une petite roue à aubes d’axe perpendiculaire au plan de la figure et passant par le centre de la couche : si le rayon des aubes est supérieur à Δ/2, la roue va se mettre à tourner avec une vitesse proportionnelle à la vorticité.
• [12]
  D’un point de vue mathématique, nous définirons la vorticité comme un vecteur égal au rotationnel de la vitesse . Si celle-ci a pour composantes u₁, u₂, u₃, la vorticité a pour composantes :
  
• [13]
  D. Bernoulli [22]. Ce travail fut écrit à Saint-Pétersbourg (où il était professeur de mathématiques, et où Euler lui succéda) et publié en 1738 à Strasbourg.
• [14]
  Dans l’eau, la vitesse du son est de l’ordre de quatre fois la vitesse du son dans l’air.
• [15]
  Encore qu’il faudra prendre en compte les effets de compressibilité pour le développement des futurs TGV.
• [16]
  Ceci correspond à l’hypothèse de Joukowski, nécessaire sous peine de graves décollements et instabilités préjudiciables à un bon comportement aérodynamique.
• [17]
  Il fut en particulier champion de Normandie sur 400 m plat, et avant-centre de l’équipe du lycée de Coutances (Manche), ville connue pour sa magnifique cathédrale. Son frère aîné, mon père le mathématicien Léonce Lesieur (1914-2002), joua également dans les équipes du Stade Malherbe (Caen) et du Stade rennais (1942). Élève de l’ENS Ulm, il avait été champion de Paris universitaire de saut en longueur en 1936 avec un bond de 6,60 m. J’ai porté le record de la famille à 6,72 m. C’est une bonne performance mondiale féminine, direz-vous. Essayez cependant de le faire, même en 2012…
• [18]
  Les changements de repère galiléens, c’est-à-dire en translation uniforme, laissent les lois de la mécanique classique invariantes.
• [19]
  Donnons une dernière interprétation du nombre de Reynolds. On peut remarquer qu’il s’écrit sous la forme du rapport de deux temps T_vis/T_in. Le premier temps, T_vis = D²/v, est un temps caractéristique visqueux pour qu’une fluctuation soit amortie par viscosité. Le deuxième temps, T_in = D/U, est un temps inertiel introduit juste au-dessus. Donc, si le nombre de Reynolds est grand devant 1 (R_e ≫ 1), le temps visqueux sera beaucoup plus grand que le temps inertiel, et les effets non linéaires pourront se développer à loisir sans être gênés par la dissipation visqueuse. On comprend donc que la turbulence apparaîtra, en principe, d’autant plus facilement que le nombre de Reynolds sera grand. Ceci dépend cependant fortement des configurations d’écoulement retenues.
• [20]
  Ainsi un écoulement d’air de 36 km/h (10 m/s) sur une plaque plane, et dont la viscosité v est de l’ordre de 10⁻⁵, deviendra-t-il turbulent à une distance aval de 1 m. Même chose pour un courant d’eau (viscosité ≈ 10⁻⁶) de 1 m/s.
• [21]
  U caractérise la vitesse relative de chacun des deux courants par rapport à la vitesse moyenne. C’est cette vitesse qui est importante pour le déclenchement des instabilités et de la turbulence.
• [22]
  À moins que ce ne soient des galaxies ou des vagues.
• [23]
  On peut consulter sur internet le lien au tableau de Van Gogh Barques aux Saintes-Maries (1888) montrant une série de tourbillons à l’avant de bateaux de pêche : www.artliste.com/vincent-van-gogh/barques-saintes-maries-500.html.
• [24]
  Puisque p/ρ = RT.