Chapitre 14. Séries divergentes et sommation

Dans certains problèmes de physique on peut être confronté à la sommation de séries de Taylor divergentes (cf. chapitre 7) mais sommables de Borel (pour des références et notes historiques, voir, par exemple, [20, 21, 22]). Dans ce cas il est nécessaire de trouver des algorithmes qui « sommes » ces séries. Bien que dans la discussion qui suit, nous ne traiterons que de séries divergentes sommables de Borel [5], certaines des méthodes que nous décrivons peuvent également être utilisées pour améliorer la convergence de séries déjà convergentes.
Considérons une fonction f(z), analytique dans un secteur S défini par
On suppose que dans S à z = 0 f(z) a un développement en série de Taylor divergent pour tout z ≠ 0, qui satisfait la borne (cf. section 7.2),
où
Souvent nous utiliserons, par simplicité et par abus de notation,
en mentionnant au sens des séries asymptotiques.Bien que, pour z ≠ 0, la série (14.3) diverge, il est possible de l’utiliser pour estimer la fonction f(z) pour |z| suffisamment petit.
En effet, à |z| fixé, on peut chercher le minimum de la borne (14.2) lorsque N varie. Si |z| est suffisamment petit, la borne d’abord diminue avec N puis, puisque la série est divergente, augmente. Si la série est tronquée au minimum, on obtient la meilleure estimation possible de f(z), avec une erreur finie ε(z).
Supposons, pour être plus spécifique, que les coefficients CN ait la forme
On peut alors estimer explicitement ε(z) et on trouve
On voit qu’une série asymptotique, en général, ne définit pas une fonction unique…