Annexe A. Fiches techniques : calcul matriciel et espace vectoriel euclidien

Ce livre utilise plusieurs éléments d’algèbre, en particulier du calcul matriciel, ainsi que la notion d’espace muni d’une distance. Pour éviter à quelques lecteurs de se replonger dans un ouvrage général d’algèbre, il a paru utile de regrouper ces éléments dans deux fiches techniques. Il n’y a pas d’ordre pour lire ces fiches, d’autant plus que chacune utilise des éléments de l’autre.
Une matrice est un ensemble de nombres rangés dans un tableau rectangulaire. On la note généralement par une lettre majuscule (exemple : X). Ses termes sont désignés à l’aide d’indices, le premier étant celui des lignes (exemple A12 terme au croisement de la 1er ligne et de la 2e colonne).
Pour mentionner les dimensions d’une matrice, on les place entre parenthèses (la matrice A(n, p) possède n lignes et p colonnes). Si n = p, la matrice est carrée.
Une matrice carrée symétrique est telle que Aij = Aji. Une matrice diagonale est telle que Aij = 0 si i ≠ j. Une matrice diagonale dont les termes non nuls sont égaux à 1 est dite « matrice identité ». Un vecteur est associé à une matrice n’ayant qu’une colonne (dite matrice colonne).
Soit une matrice notée X ayant n lignes et p colonnes. Sa (matrice) transposée, notée X′, s’obtient en écrivant les valeurs des lignes de X dans les colonnes de X′. La matrice X′ obtenue possède donc p lignes et n colonnes.
Soient deux matrices X (n, p) et Y (p, q) telles que le nombre de colonnes de X est égal au nombre de lignes de Y. Le produit de ces deux matrices, noté…