Chapitre IV. Méthodes itératives pour la résolution d’équations

Les méthodes itératives, et en particulier la méthode de Newton, figurent parmi les méthodes numériques les plus puissantes permettant la résolution approchée des équations de toute nature. L’idée de ces méthodes est de partir d’une valeur approchée grossière de la solution, et d’en améliorer la précision par une application itérée d’un algorithme bien choisi.
Soit (E, d) un espace métrique complet et ϕ : E E une application continue. On dit que a ∈ E est un point fixe de ϕ si ϕ(a) = a. →On dit que ϕ est contractante si ϕ est lipschitzienne de rapport k < 1, c’est-à-dire s’il existe k < 1 tel queThéorème. Soit ϕ : E → E une application contractante d’un espace métrique complet dans lui-même. Alors ϕ admet un point fixe unique a ∈ E. De plus, pour tout point initial x0 ∈ E, la suite itérée (xp) définie par x ∈p+1 = ϕ(xp) converge vers a.Unicité du point fixe. Si ϕ avait deux points fixes a = b, alors d(ϕ(a), ϕ(b)) = d(a, b) et d(a, b) = 0, donc ϕ ne pourraitExistence du point fixe. Soit x0 ∈ E un point initial quelconque et (xp) la suite itérée associée. On a alorsd’où par récurrence . Pour tout entier q > p il vient
avec . On a donc
ce qui montre que (xp) est une suite de Cauchy. Comme (E, d) est complet, la suite (xp) converge vers un point limite a ∈ E. L’égalité xp+1 = ϕ(xp) et la continuité de ϕ impliquent à la limite a = ϕ(a).Estimation de la vitesse de convergence. L’inégalité
implique par récurrence
La convergence est donc exponentiellement rapide…