Chapitre III. Intégration numérique

L’objet de ce chapitre est de décrire quelques méthodes numériques classiques (Newton-Cotes, Gauss, Romberg) permettant d’évaluer des intégrales de fonctions dont les valeurs sont connues en un nombre fini de points. On s’attachera à expliciter le plus complètement possible les formules d’erreurs dans chacun des cas.
Soit f : [α, β] → ℝ une fonction continue. On se propose de chercher des formules approchées pour l’intégrale . Pour cela, on choisit d’abord une subdivision
de l’intervalle [α, β]. La formule de Chasles donne
On est donc ramené au problème d’évaluer l’intégrale de f sur un petit intervalle [αi, αi+1]. Ce calcul est effectué au moyen de formules approchées (qui peuvent être a priori différentes sur chacun des intervalles [αi, αi+1]), appelées méthodes de quadrature élémentaires, du type suivant :Méthodes de quadrature élémentaires.La sommation peut être interprétée comme une valeur moyenne de f sur [α, αi+1]. Le problème est de choisir convenablement les points ξi,j et les coefficients ωi,j de façon à minimiser l’erreur. Ceci se fera en général en évaluant l’intégrale au moyen d’une interpolation de f aux points ξi,j.La méthode de quadrature composée associée seraDéfinition. On dit qu’une méthode de quadrature (élémentaire ou composée) est d’ordre N si la formule approchée est exacte pour tout et inexacte pour au moins un .
On observera que les formules sont toujours exactes pour f(x) = 1 à cause de l’hypothèse . Par linéarité, elles sont donc exactes au moins pou…