Chapitre X. Stabilité des solutions et points singuliers d’un champ de vecteurs

On se propose ici d’étudier le comportement des solutions d’une équation différen-tielle et des lignes intégrales d’un champ de vecteurs lorsque le temps t tend vers l’infini. On s’intéresse essentiellement au cas des équations linéaires ou voisines de telles équations. Dans ce cas, le comportement des solutions est gouverné par le signe de la partie réelle des valeurs propres de la matrice associée à la partie linéaire de l’équation : une solution est dite stable si les solutions associées à des valeurs voisines de la donnée initiale restent proches de la solution considérée jusqu’à l’infini. Cette notion de stabilité (dite aussi stabilité au sens de Lyapunov) ne devra pas être confondue avec la notion de stabilité d’une méthode numérique, qui concerne la stabilité de l’algorithme sur un intervalle de temps fixé. On étudie finalement les différentes configurations possibles des lignes intégrales au voisinages des points singuliers non dégénérés d’un champ de vecteurs plan.
On considère le problème de Cauchy associé à une équation différentielle
avec condition initiale y(t0) = z0. On suppose que la solution de ce problème existe sur [t0, +∞[.Définition. Soit y(t, z) la solution maximale de (E) tel que y(t0, z) = z. On dira que la solution y(t, z0) est stable s’il existe une boule et une constante C ≥ 0 telles quePour tout , est définie sur [t0, +∞[ ;Pour tous et t ≥ t0 on aLa solution y(t, z0) est dite asymptotiquement stable si elle est stable et si la condition (ii’…