Chapitre IX. Méthodes à pas multiples

Comme dans le chapitre précédent, on s’intéresse à la résolution numérique du problème de Cauchy relatif à une équation différentielle
Si (tn)0≤n≤N est une subdivision de [t0, t0 + T ] de pas successifs hn = tn+1 − tn, on appelle méthode numérique à r + 1 pas toute méthode numérique de la forme
L’intérêt de ces méthodes vient du fait qu’on peut obtenir un ordre élevé pour une complexité de calcul nettement inférieure à celle des méthodes de Runge-Kutta. L’un des problèmes essentiels, néanmoins, est de s’assurer que la stabilité numérique reste suffisamment bonne.
On suppose ici que le pas hn = h est constant. On s’intéresse aux méthodes à r + 1 pas permettant un calcul récurrent des points (tn, yn) et des pentes fn = f(tn, yn) sous la forme
où les αi, βi, 0 ≤ i ≤ r sont des constantes réelles.Démarrage de l’algorithme. Le point initial (t0, y0) étant donné, l’algorithme ne peut démarrer que si les valeurs (y1, f1), …, (yr, fr) ont déjà été calculées.Ce calcul ne peut être fait que par une méthode à un pas pour (y1, f1), à au plus 2 pas pour (y2, f2), … au plus r pas pour (yr, fr). L’initialisation des r premières valeurs (yi, fi), 1 ≤ i ≤ r, sera généralement faite à l’aide d’une méthode de Runge-Kutta d’ordre supérieur ou égal à celui de la méthode (M), ou à la rigueur un de moins (voir le début du § 1.2 sur ce point).
La définition générale de l’erreur de consistance pour une méthode à r + 1 pas est la suivante (on ne suppose pas nécessairement dans cette définition que le pas est constant)…