Chapitre XI. Équations différentielles dépendant d’un paramètre

Etant donné une équation différentielle y = f(t, y, λ) dépendant d’un paramètre λ, on se propose d’étudier comment les solutions varient en fonction de λ. En particulier on montrera que, sous des hypothèses convenables, les solutions dépendent continûment ou différentiablement du paramètre λ. Outre l’aspect théorique, ces résultats sont importants en vue de la méthode dite des perturbations : il arrive fréquemment qu’on sache calculer la solution y pour une valeur particulière λ0, mais pas pour les valeurs voisines λ ; on cherche alors un développement limité de la solution y associée à la valeur λ en fonction de λ − λ0. On montrera que le coefficient de λ λ0 est obtenu en résolvant une équation différentielle linéaire, appelée équation lin´−earisée de l’équation initiale ; ce fait remarquable permet généralement de bien étudier les petites perturbations de la solution.
Soit U un ouvert de et
une fonction continue. Pour chaque valeur de , on considère l’équation différentielleoù est l’ouvert des points tels que (t, y, λ)∈ U. Une donnée initiale (t0, y0)étant fixée, on note y(t, λ) la solution maximale du probl`eme de Cauchy relatif à (Eλ) telle que y(t0, λ) = y0 ; on supposera toujours dans la suite que les hypothèses assurant l’unicité des solutions sont vérifiées. Notre objectif est d’étudier la continuité ou la différentiabilité de y0(t, λ) en fonction du couple (t, λ).
Fixons un point (t0, y0, λ0) ∈ U. Comme U est ouvert, ce point admet un voisinage (compact) contenu dan…