La présentation de la théorie de l’intégrale de Lebesgue et de la construction de la mesure de Lebesgue développée jusqu’à maintenant n’est pas la seule possible. Cette présentation - dite par la mesure abstraite - si elle illustre paradoxalement le caractère concret de la notion de mesure semble créer une sorte de fossé entre intégrale de Lebesgue et intégrale de Riemann, la première, plus puissante, se construisant sans référence à la seconde. Cette situation est relativement singulière en Mathématiques où, le plus souvent, l’amélioration d’un outil ou d’une théorie se fait par approfondissement de résultats ou de notions existantes, plutôt que par bifurcation. En fait, il existe une présentation - dite approche fonctionnelle - permettant de faire apparaître l’intégrale de Lebesgue comme une simple extension de l’intégrale de Riemann des fonctions continues à support compact à de plus vastes classes de fonctions. Cette approche est essentiellement constituée par le théorème de représentation de Riesz.Théorème 10.1 (Théorème de représentation de Riesz). Soient (X, d) un espace métrique localement compact séparable et Φ une forme linéaire positive sur l’espace vectoriel \mathscr{C}_K(X, \mathbb{R}) des fonctions continues à support compact définies sur X. Alors, il existe une unique mesure μ définie sur la tribu borélienne \mathscr{B}(X) telle queEn outre, μ est une mesure de Borel caractérisée parouRemarques : En fait, l’hypothèse de locale compacité de X est suffisante pour obteni…