L’objet de ce chapitre est de donner un sens à la notion de “mesure de surface” sur un espace produit X × Y à partir de “mesures de longueur” définies sur X et Y. L’intégration par rapport à cette mesure de surface - ou mesure produit - sur X × Y fournira le cadre naturel et rigoureux pour introduire la notion d’intégrale multiple. Les règles de manipulation et de calcul de telles intégrales sont régies par les deux théorèmes de Fubini.Définition 11.1. Soient (X, \mathscr{A}) et (Y, ℬ) deux espaces mesurables. On appelle tribu produit de \mathscr{A} et ℬ, la tribu notée \mathscr{A} \otimes \mathscr{B} définie parLa tribu \mathscr{A} \otimes \mathscr{B} est donc engendrée par les rectangles “à côtés mesurables”.Notation : Dans la suite de ce chapitre, la notation \mathscr{A} \times \mathscr{B} désignera l’ensemble \{A \times B: A \in \mathscr{A},\, B \in \mathscr{B}\}, i.e. l’ensemble des rectangles à côtès mesurables. Ainsi, \mathscr{A} \otimes \mathscr{B}=\sigma(\mathscr{A} \times \mathscr{B}).Remarque : Il est utile de remarquer pour la suite qu’un rectangle à côtés mesurables A × B s’écrit sous la forme A × B = (A × Y) ⋂ (X × B).
La proposition ci-dessous permet de caractériser la tribu produit \mathscr{A} \otimes \mathscr{B} comme la plus petite tribu rendant les projections canoniques πX et πY de X × Y sur X et Y mesurables.Proposition 11.1. Soient πX : X × Y ⟶ X et πY : X × Y ⟶ Y les projections canoniques sur X et Y définies par πX ((x, y)) := x et πY ((x, y)) := y respectivement…