Chapitre 3. Équations différentielles

On se donne une fonction continue f : I × U → U où I est un intervalle réel et U ⊂ ℝn un ouvert. On cherche des fonctions t ↦ X(t) ∈ U de classe sur un intervalle J ⊂ I vérifiant :
Une condition initiale est la donnée d’une valeur t0 de t et d’une valeur X0 ∈ U. On cherche une solution telle X(t0) = X0. C’est ce qu’on appelle le problème de Cauchy pour l’équation différentielle et la condition initiale donnée. A priori, la solution que l’on va trouver n’a aucune raison d’être définie sur tout l’intervalle I.. On a , avec U = ] –∞, 1[ × ℝ.X ' = A(t)X + B(t) où A est une matrice carrée de dimension n dépendant continûment de t ∈ I , et B un vecteur de dimension n fonction continue de t ∈ I. On cherche X(t) ∈ ℝn. C’est une équation (ou système différentiel) linéaire.
Une équation différentielle du second ordre x" = g(t,x,x') se ramène au cas général en posant X = (x,x') ∈ ℝ2. On a X ' = (x', g(t,x,x')) = f (t,X) avec f (t,(u,v)) = (v, g(t,u,v)).
Soit (t0,X0) une condition initiale donnée, et supposons qu’il existe une solution de l’équation différentielle vérifiant cette condition initiale, définie a priori sur un voisinage de t0. Alors, il existe un plus grand intervalle ouvert ]T* ,T * [⊂ I sur lequel cette solution se prolonge. La solution définie sur ce plus grand intervalle ouvert s’appelle solution maximale. Cela signifie donc que
Toute solution de E se prolonge donc en une solution maximale.
Quand on a une solution maximale ϕ définie sur un intervalle ouver…