On présente, ici, quelques résultats essentiels de géométrie analytique. Si celle-ci permet, dans certains cas, une résolution plus facile à mettre en oœuvre, il ne faut pas mettre de côté l’aspect géométrique pur, pour lequel le lecteur – ou la lectrice – intéressé(e) pourra trouver de très riches compléments dans [5].Propriété 2.1.1. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes composantes.
Le vecteur, dont les trois composantes sont nulles, est appelé vecteur nul, et noté \vec{0}.
Dire que deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont liés revient à dire qu’ils sont proportionnels, ou encore colinéaires.Attention ! Trois vecteurs liés ne seront pas nécessairement deux à deux colinéaires : la seule chose que l’on peut dire, c’est qu’il existe une combinaison linéaire non triviale de ces vecteurs, qui est égale au vecteur nul. Considérons, à titre d’exemple, un triangle non aplati de sommets A, B, C :
Les vecteurs \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C} \text { et } \overrightarrow{C A} sont liés, mais non colinéaires ! Comme ils sont dans un même plan, ils sont coplanaires.Propriété 2.1.2. Pour toute famille (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) de vecteurs libres :ce qui signifie que s’il existe une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs, alors les coefficients de cette même combinaison linéaire sont nécessairement nuls.Proposition 2.2.1. Soit (O \,; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) étant un repère de l’espace. Alors, pour tout point M de l’espace, il existe trois réels …