Chapitre 1. Le plan complexe. Les nombres complexes
- Par Claire David
Pages 1 à 66
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Notes
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[1]
Adrien-Quentin Buée, chanoine honoraire de Notre-Dame, mort en 1825 à 80 ans ; versé dans les sciences, il publia des écrits mathématiques ; il est souvent qualifié « d’abbé » par confusion avec son frère l’Abbé Buée, chanoine titulaire de Notre-Dame [3].
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[2]
(1926-), lauréat de la médaille Fields en 1954.
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[3]
(1928-), lauréat de la médaille Fields en 1966, il apparaît comme un refondateur de la géométrie algébrique.
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[4]
Mathématicien allemand (1930-2011), il travailla beaucoup sur les variétés complexes. Ses travaux se placent dans la lignée de ceux d’Hermann Weyl, David Hilbert, Bernhard Riemann.
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[5]
Gaston Maurice Julia (1893-1978), mathématicien français.
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[6]
Benoît Mandelbrot (1924-2010), mathématicien franco-américain.
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[7]
Jean-Robert Argand (1768-1822), mathématicien suisse, célèbre pour son interprétation géométrique des nombres complexes comme points du plan. Il a également démontré le théorème de d’Alembert-Gauss.
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[8]
Abréviation du latin « id est », qui signifie « c’est-à-dire ».
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[9]
Les règles de calcul dans ℂ seront développées au paragraphe suivant.
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[10]
Thomas Simpson (1710-1761), mathématicien anglais, essentiellement connu pour ses travaux sur le calcul infinitésimal (laméthode de Simpson, qui permet un calcul approché de l’aire sous une courbe), mais qui fut aussi l’auteur d’un important traité de trigonométrie.
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[11]
François Viète(1540-1603), mathématicien, géomètre et astronome français, qui apporta de nombreuses contributions à l’algèbre ; il est à l’origine des prémices du calcul symbolique.
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[12]
Pafnouti Lvovitch Tchebychev (1821-1894), mathématicien russe, qui apporta de nombreuses contributions en probabilités et en statistiques.
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[13]
\(\frac{{Discriminant }}{4}\), très utile lorsque le coefficient du terme de degré 1 est pair.
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[14]
\(e^{\frac{6 \,i \,\pi}{3}}=e^{2 \,i \,\pi}=1, e^{\frac{8 \,i \,\pi}{3}}=e^{2 \,i \,\pi+\frac{2 \,i \,\pi}{3}}=e^{2 \,i \,\pi} e^{\frac{2 \,i \,\pi}{3}}=e^{\frac{2 \,i \,\pi}{3}}\), etc.
Tout commença avec la fameuse controverse de Cardan, au sujet de la résolution des équations du troisième degré, de la forme x3 + p x = q.
Jérôme Cardan (1501-1576) publia, dans Ars magna en 1545, les formules donnant la solution de ces équations :
La controverse vint du fait que ces formules furent, également, trouvées par Nicolas Tartaglia (1499-1557), qui en revendiqua la paternité. Il semblerait, d’après ce qu’écrit Cardan, que ces formules furent découvertes, en premier, par Scipione dal Ferro (1465-1526), qui, malheureusement, ne publia jamais ces résultats, et ne les confia qu’à un cercle restreint d’élèves.
À la fin du XVIe siècle, le mathématicien italien Rafael Bombelli (1526-1572) applique, dans son ouvrage l’Algebra,cette formule à l’équation x3 − 15 x = 4, et obtient :
où l’écriture « \sqrt{-1} » désigne un nombre, a priori inconnu, dont le carré vaut −1.
Une racine évidente entière de l’équation précédente est, bien sûr, 4. Mais si on recherche les autres racines, la formule obtenue par R. Bombelli prend un tout autre sens ; bien que la fonction x \mapsto \sqrt[3]{} soit définie que sur ℝ+, on constate, en utilisant les identités remarquables :
que :
et :Ainsi :
qui a un sens, et est bien solution de l’équation de départ :
Le fait que −1 puisse être le carré d’un nombre, même « imaginaire », a ainsi commencé à faire son chemin.
Leonhard Euler (1707-1783), s’intéressa également aux nombres complexes. On lui doit, notamment, la formule portant son nom…
Date de mise en ligne : 18/12/2023
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