1. Introduction

Le tome 2 doit être vu comme une introduction à l’étude des systèmes dynamiques telle qu’elle est comprise de nos jours. Cette introduction est pensée comme un prolongement du tome 1, avec l’objectif de montrer comment les idées et résultats élémentaires, relatifs au calcul différentiel et à la théorie classique des équations différentielles ordinaires, conduisent très naturellement aux idées et résultats plus modernes concernant la théorie des systèmes dynamiques. Les variétés, applications, difféomorphismes et champs de vecteurs sont considérés de classe C∞, sauf mention expresse du contraire.
Dans la partie II du tome 1, nous avons étudié la théorie qualitative des équations différentielles ordinaires (c’est-à-dire des équations différentielles en dimension finie). Rappelons qu’une équation différentielle sur une variété M, par exemple, est une équation de la forme :
où la donnée est un champ de vecteurs X : x ∊ M ↦ X(x) ∊ TxM, et où l’équation porte sur une application inconnue φ : t ∊ ℝ ↦ M. La signification de cette équation est que toute solution φ doit vérifier que, pour tout t, le vecteur dérivé (à valeurs dans TXM) doit être égal à la valeur X(x) du champ de vecteurs au point x = φ(t). Nous avons montré que sous des conditions minimales de régularité du champ, une telle solution existe et est unique, si on la considère définie sur un intervalle de temps maximal et si l’on fixe une condition initiale φ(0) = x (théorème de Cauchy). Cette solution est appelée la trajectoire (maximale) par le poin…