10. Bases de l’étude de la propagation

La propagation d’un signal dans un milieu peut être assimilée à la variation d’une grandeur dans l’espace en fonction du temps, notée :
Elle est décrite par une équation de propagation qui lie les grandeurs espace et temps. En partant du cas simple de la propagation d’un signal à une dimension, nous allons établir cette équation dans un milieu non absorbant et non dispersif. Ces deux propriétés impliquent respectivement que le signal n’est pas atténué, ni déformé.
La représentation complète d’un signal implique une représentation temporelle et une représentation spatiale. C’est cette dernière qui est adoptée sur la figure 10.1 où le signal varie selon l’axe Ox, à l’instant t0 sur la figure du haut et à l’instant t sur la figure du bas. L’instant t est supposé ultérieur à l’instant t0, la propagation s’effectuant dans le sens des x croissants.
La forme du signal est la même au temps t0 qu’au temps t. La déformation a simplement été translatée d’une valeur x0. Cela permet d’écrire :
La célérité de l’onde ou vitesse de propagation est définie par :Cette définition permet d’écrire :
La déformation à l’instant t0 est choisie comme référence pour la comparaison d’une onde à tout instant. Nous choisissons donc ce temps comme origine. Représentons la forme de la déformation à cet instant initial par la fonction f. Nous obtenons :
Dans le cas d’une onde se propageant dans le sens inverse à celui de l’axe des x, nous obtenons :
Posons :
Calculons les dérivées première et seconde par rapport à l’espace de la fonction décrivant le signal …