Chapitre 3. Travailler avec les nombres complexes

Les additions et multiplications de nombres complexes ont les mêmes propriétés que celles des nombres réels, mais les quotients demandent une méthode particulière.
Voici un second exercice proposant des calculs analogues sous forme littérale.
On peut définir l’ensemble des nombres complexes, noté \mathbb{C}, en partant des couples de nombres réels. Si on note i le couple (0, 1) et si on identifie un nombre réel a avec le couple (a, 0), un couple de nombres réels (a, b) définit le nombre complexe
On dit aussi que l’écriture z = a + bi, avec a et b réels, est la forme algébrique du complexe z.On appelle partie réelle de z le réel a et on note Re(z) = a. On appelle partie imaginaire de z le réel b et on note Im(z) = b.
On pose \bar{z}=a-b i et on appelle ce nombre le conjugué de z. On a \overline{\bar{z}}=z.
On définit une addition et une multiplication sur l’ensemble \mathbb{C}. Si z = a + bi et z^{\prime}=a^{\prime}+b^{\prime} i sont des nombres complexes, on pose :
Ces définitions permettent de calculer avec les nombres complexes exactement comme avec les nombres réels (on a les mêmes propriétés d’associativité, de commutativité et de distributivité) en ayant noté que i 2 = −1. On remarque que :
On peut noter que la conjugaison est compatible avec les lois définies sur \mathbb{C}, à savoir que \overline{z+z^{\prime}}=\bar{z}+\overline{z^{\prime}} \text { et } \overline{z z^{\prime}}=\bar{z} \overline{z^{\prime}} \text {. }
On vérifie aussi qu…