Le présent ouvrage est une introduction aux fonctions d’une variable complexe, discipline mélangeant harmonieusement l’algèbre, l’analyse et la géométrie et qui font toute sa richesse.
Cette discipline s’est développée depuis le xvie siècle, avec l’apparition des nombres qu’on appelle actuellement nombres complexes, en continuant au xviiie siècle, avec la maîtrise de la notion de fonction et des quantités variables chez L. Euler, et au xixe siècle avec l’introduction du calcul différentiel et du calcul intégral pour ces fonctions grâce à A.L. Cauchy.
D’autres mathématiciens de cette dernière époque ont apporté des pierres à cet édifice en amenant un autre point de vue sur ces fonctions, comme B. Riemann (point de vue géométrique) et K. Weierstrass (point de vue algébrique avec les séries entières).
Le grand succès des méthodes de la théorie des fonctions d’une variable complexe réside, en particulier, dans leur utilisation et leur diffusion dans plusieurs disciplines scientifiques comme la mécanique des fluides, électromagnétisme, l’élasticité, etc.
On observe, par ailleurs, que même pour l’étude des fonctions d’une variable réelle, le recours à des variables complexes peut s’avérer d’une importance inestimable et pour l’illustrer, mentionnons simplement l’exemple de la fonction et son développement en séries entières 1 − x2 + x4 +…+ (−1)nx2n +…, qui n’est valable, étrangement, que pour x ∈ ] − 1, 1 [, alors que la fonction f est définie et très régulière sur ℝ ; l’explication provient de ce qu…