Contrairement à ses propriétés à l’échelle des galaxies, l’univers à grande échelle est très homogène. Ceci est vérifié par les observations des grands relevés de galaxies, et du fond diffus cosmologique, comme nous le verrons dans la suite. Les équations décrivant l’univers à grande échelle seront recherchées sous l’hypothèse d’un univers isotrope et homogène. Cela est connu sous le nom de principe cosmologique, qui revient à supposer qu’aucun lieu de l’univers ne présente une quelconque particularité.
Pour un plan, la relation métrique en coordonnées polaires est donnée par
Pour la surface d’une 2-sphère de rayon R en coordonnées polaires, différentes expressions peuvent être obtenues,
avec ρ la coordonnée cylindrique radiale. Ces expressions se comprennent à la lumière de l’illustration de la figure 7.1.
Remarquons ici un fait très important : pour les habitants de la surface de la sphère, ρ ne correspond à aucune distance physique, l’intérieur de la sphère n’existe pas pour eux. Il s’agit uniquement d’une paramétrisation des coordonnées mesurables à la surface de la sphère.Dans l’expression de la relation métrique, le terme en facteur du dθ2 indique si la surface bi-dimensionnelle est courbée. En effet dans la limite R → ∞, on retrouve l’expression pour un plan.
Une autre écriture de la relation métrique précédente s’obtient en faisant un changement de variable pour ré-exprimer le dr de l’expression précédente. Soit
et alors
puis finalemen…