Notes

• [1]
  La formule (3.1) résulte de l’équation fondamentale (2.1), en notant que l’on a ψ = α₁φ⁽¹⁾ + α₂φ⁽²⁾ + …, avec α_j = (φ^(j), ψ). On laisse de côté les complications mineures qui se produisent quand une même valeur propre est associée à plusieurs vecteurs propres distincts. On dit alors que cette valeur est dégénérée.
• [2]
  La dernière égalité dans les équations (3.3) résulte du développement du carré dont la moyenne est .
• [3]
  La formule (3.4) pour la valeur moyenne résulte de l’expression générale (3.3) d’ une valeur moyenne en utilisant la base des vecteurs propres de A. En utilisant l’expression (3.1) de la probabilité, on a en effet
  

  

  En posant (φ^(j), ψ)a^(j) = (φ^(j), a^(j)ψ) = (φ^(j), A ψ) et en utilisant la formule (2.6) pour le produit scalaire, on reconnaît dans (3.10) l’expression du produit scalaire (ψ, Aψ).
• [4]
  Le microscope d’Heisenberg : le calcul justifiant les conclusions d’Heisenberg procède de la manière suivante : soit d la distance du plan focal au diaphragme et a le rayon de celui-ci, en supposant que a soit très petit devant d pour simplifier. Le diaphragme est vu du foyer sous un angle α égal à a/d (en assimilant l’angle à sa tangente). L’indétermination Δp_x sur la composante x de l’impulsion du photon est donc égale au produit pα avec p = h/λ. Comme l’électron est proche du foyer dans le plan focal, l’indétermination de sa position est , où Δθ désigne le pouvoir séparateur angulaire du microscope. Finalement, on s’appuie sur la théorie classique de la diffraction montrant que le pouvoir séparateur Δθ est égal à 1,22 λ/a et l’on constate ainsi que le produit Δx.Δp_x est de l’ordre de h.
• [5]
  Démonstration des relations d’indétermination : La démonstration générale des relations d’indétermination peut être obtenue dans le cas général en utilisant l’algèbre des opérateurs hilbertiens. On considère deux observables A et B dont le commutateur est défini par
  

  

  Une propriété générale des adjoints, (AB)^† = B^†A^†, montre que l’hermiticité de A et B entraîne celle de C, qui est donc aussi une observable. On considère alors une fonction d’onde ψ et les valeurs moyennes correspondantes 〈 A 〉 et 〈 B 〉, définies par la formule (3.4). On introduit des observables centrées, définies par A′ = A – 〈 A 〉 I et B′ = B – 〈 B 〉 I , dont les valeurs moyennes sont nulles dans l’état ψ et le commutateur est le même que celui de A et B. Par conséquent, on a .
  On considère alors la fonction d’onde φ = (A′ + itB′)ψ, où t est un paramètre réel arbitraire. Notant que l’adjoint de l’opérateur A′ + itB′ est A′ – itB′, on constate que :
  

  

  Comme le produit scalaire (φ, φ) est toujours positif ou nul et que le dernier membre écrit est un polynôme du second degré en t, son discriminant doit être positif et on a donc l’inégalité générale
  

  

  Dans le cas d’une coordonnée X de la position d’une particule et de la composante associée P_x de l’impulsion, on a [X, P_x] = iħI, d’où la relation d’indétermination exacte

  
• [6]
  Le modèle de Von Neumann pour une expérience de mesure
  Nous sommes restés volontairement vagues sur les aspects mathématiques des superpositions d’ondes dans le cas du chat de Schrödinger. Pour combler cette lacune, l’analyse sera complétée ici par un exemple dû à Von Neumann et d’ailleurs antérieur à l’article de Schrödinger. C’est un modèle fondé sur l’idée que les lois quantiques sont universelles. Une expérience de mesure se réduit donc à une interaction entre deux systèmes quantiques dont l’un, qu’on désigne par Q, est celui qui est mesuré. Parmi ses observables figure l’opérateur A que l’on mesure. Un deuxième système, désigné par M, est l’appareil destiné à mesurer la valeur de A. Von Neumann le modélisait par un système physique à un seul degré de liberté X, représentant la position d’un curseur qui peut se déplacer le long d’une règle graduée. Au début de l’expérience, le curseur est sur la position zéro et sa fonction d’onde ϕ(x) est bien localisée autour du point d’abscisse x = 0. On peut prendre par exemple pour cette fonction ϕ(x) une fonction gaussienne étroite centrée à x = 0.
  Von Neumann proposait un modèle à la fois simple et élégant pour décrire l’interaction entre les deux systèmes Q et M : il supposait que leur hamiltonien d’interaction était de la forme H_int = – g(t) A.P, où A était l’observable mesurée et P l’observable canoniquement conjuguée à X, c’est-à-dire l’impulsion du curseur. La fonction g(t) est prise positive et très grande, mais n’est différente de zéro que pendant un court intervalle de temps Δt qui suit immédiatement l’instant t = 0 où la mesure est censée se produire. L’interaction entre Q et M a lieu pendant cet intervalle et, compte tenu de la grandeur de g(t), cette interaction domine sur tous les autres termes de l’hamiltonien de Q et de M pendant ce court instant. L’équation de Schrödinger prend alors la forme (2.18) où l’hamiltonien dépend du temps et se réduit à H_int. L’opérateur d’évolution entre les instants 0 et Δt prend alors la forme
  

  

  avec .
  Notons qu’on peut prendre la valeur de λ aussi grande qu’on le désire.
  Supposons alors que l’état initial du système Q soit un état propre de A avec une valeur propre a^(k) et une fonction propre ψ ^(k). On a alors Aψ ^(k) = a_(k)ψ ^(k). L’opérateur d’évolution agit sur la fonction d’onde initiale ψ ^(k)φ(x) et son action donne simplement
  

  

  Remarquant alors que P = – iħ∂/∂x, le développement en série de l’exponentielle montre que son action sur la fonction d’onde initiale ϕ(x) se traduit par :
  

  

  où l’on a reconnu dans le second terme la série de Taylor de ϕ(x + λa^(k)). Il en résulte qu’aussitôt après l’interaction, la fonction d’onde du curseur a toujours la même forme étroite qu’elle avait initialement, mais elle a été translatée et se trouve maintenant centrée au point d’abscisse x = – λ a_k. Ainsi, le curseur s’est déplacé de cette distance et sa nouvelle position indique explicitement quelle valeur propre de A était présente à l’entrée.
  Cette description est évidemment conforme à ce qu’on attendrait d’un appareil de mesure. En revanche, quand l’état initial du système Q est une superposition de la forme c₁ψ⁽¹⁾ + c₂ψ⁽²⁾ de deux états propres de A, l’état de tout le système Q + M après l’interaction devient
  

  

  On retrouve sur cette expression toutes les particularités du cas du chat de Schrödinger, dont les états « mort » et « vivant » sont remplacés à présent par deux positions macroscopiquement distantes du curseur. La lame de réanimation serait alors représentée par l’action de l’hamiltonien – H_int, à un instant postérieur à la mesure.
• [7]
  On verra au chapitre 7 que la dualité onde-particule est due à la non-commutation de l’observable X pour la position de l’atome et de l’opérateur de projection sur la fonction d’onde.