Notes

• [1]
  La première caractérisation claire de la décohérence est due à Hans Dieter Zeh, Foundations of Physics, 1, 69 (1970).
• [2]
  M. Brune, E. Hagley, J. Dreyer, X. Mestre, A. Maali, C. Wunderlich, J.M. Raimond, S. Haroche, Physical Review Letters, 77, 4887 (1996).
• [3]
  On pourrait envisager d’utiliser un signal électromagnétique au lieu d’un dispositif atomique, mais cela n’introduirait pas de différence significative.
• [4]
  Un modèle d’expérience purement conceptuelle et irréalisable
  On reprend ici la discussion au moment du calcul de la probabilité pour que la fonction d’onde réalisée physiquement, ψ(x, y ; t₀), soit trouvée égale à la fonction calculée, φ(x, y). D’après la formule de Born (2.1), cette probabilité est égale au carré du produit scalaire
  

  

  lequel est en principe égal à 1. Si on peut observer effectivement cette coïncidence, il en résultera une preuve expérimentale de la persistance des superpositions. Or, compte tenu de la connaissance a priori de x₁ et x₂, l’intégration sur x de la quantité (A.1) se borne pratiquement à sommer sur les deux valeurs x = x₁ et x = x₂, de sorte que le produit scalaire se ramène à la somme de deux intégrales qui ne portent que sur la multivariable y.
  La seule question qui se pose, après toutes les simplifications extrêmes qui ont été faites, est d’apprécier la fidélité avec laquelle l’appareil A peut reproduire physiquement l’input φ(x, y). Pour bien faire la distinction entre le résultat du calcul théorique injecté dans A et la reproduction physique qu’il en donne, on désignera par φ′(x, y) cet output physique. Comme pour toute opération réelle, sa production comporte inévitablement des erreurs, qu’on va essayer d’estimer.
  On désigne par N le nombre de degrés de liberté du système décohérent (c’est-à-dire le nombre des variables y_k, avec k = 1, 2, …, N). C’est un nombre assez élevé, comme l’exige le caractère macroscopique de la décohérence. L’intégrale (A.1) porte donc en pratique sur N variables d’intégration. On remplace l’intégration par une sommation sur un ensemble de valeurs discrètes de la multivariable y, c’est-à-dire sur N ensembles de valeurs discrètes pour chaque variable y_k, en considérant cette discrétisation comme inséparable d’une réalisation physique. On peut alors estimer les erreurs qui résultent de cette « réalisation » des interférences. Il semble clair que les conditions les plus favorables à la thèse adverse seront obtenues quand chaque variable y_k ne prend que deux valeurs. Le système S est alors assimilable à une collection de N composantes à deux niveaux (des spins 1/2, par exemple) et l’intégrale devient une somme de 2^N termes.
  Désignons par ε l’erreur commise sur chacune des valeurs φ′(x_i, y_k) de l’output physique. Pour que le test de la superposition soit concluant, il faut que l’erreur σ sur le produit scalaire (A.1) soit nettement inférieure à 1. Or le calcul des probabilités montre que son carré σ² est de l’ordre de 2^N ε², ce qui implique une borne supérieure de l’ordre de 2^– N/2 sur la valeur de ε. Comme le test doit se faire instantanément (le temps t₀ étant très précis à cause de la rapidité de la décohérence), toutes les valeurs de l’output φ′(x_i, y_k) doivent être produites simultanément, ce qui exige très certainement l’intervention de 2^N composantes distinctes de l’appareil A. Nous l’admettrons du moins, comme nous admettrons que la composante élémentaire d’un appareil qui produit un élément de signal avec une erreur inférieure à ε doit comporter un nombre d’atomes au moins égal à ε^{– 1}. Le nombre total des atomes qui composent l’appareil A est donc alors au moins égal à 2 ^3N/2, comme indiqué dans le texte.
• [5]
  Les propriétés (5.6-5.8) de la matrice densité
  Dans le cas d’une variable x unique à valeurs discrètes, auquel nous nous restreindrons, la formule (5.6) revient à ρ_kj = ρ_jk*, ce qui est évident. La propriété (5.7) s’obtient en notant que
  

  

  La formule (5.8) revient à

  
• [6]
  Le problème de la définition d’une fonction d’onde pour un système momentanément isolé se présente ainsi. En désignant par x des variables associées à ce système et par y d’autres variables appartenant à l’extérieur, en supposant de plus l’existence d’une fonction d’onde ψ(x, y) pour cet ensemble, est-il possible de passer de là à une fonction d’onde ψ(x) décrivant le système isolé ? Pendant la période d’isolement, celui-ci se traduit par le fait que l’opérateur hamiltonien agissant sur ψ est une somme de deux termes de la forme H₁ + H₂, lesquels agissent respectivement sur les variables x et y. On peut démontrer qu’il est alors impossible de construire une fonction ψ(x) dépendant linéairement de ψ(x, y) et vérifiant l’équation de Schrödinger associée à l’hamiltonien H₁, sauf quand ψ(x, y) est un produit de la forme ψ(x).f(y).
• [7]
  L’équation d’évolution (5.9) pour la matrice densité
  Introduisons les fonctions propres ψ_j (t) et les valeurs propres p_j(t) de la matrice densité ρ(t). L’interprétation de cette matrice comme un tirage au hasard de fonctions d’onde montre que les p_j(t) sont des quantités constantes. Les fonctions propres ψ _j(t) évoluent selon l’équation de Schrödinger ψ_j (t) = U(t)ψ _j(0). L’équation aux valeurs propres pour ρ(t) devient alors ρ(t)ψ_j(t) = p_jψp_j(t), d’où l’on déduit ρ(t) = U= ^{– 1}(t) ρ(0) U(t) et l’équation (5.9) en dérivant par rapport à t et en utilisant l’expression U(t) = exp( – i Ht/ħ).
• [8]
  E. Joos et H. D. Zeh, Zeitschrif für Physik, B 59, 229 (1985).
• [9]
  Ce calcul est donné dans l’article original de Joos et Zeh et dans l’Appendice au chapitre 7 du livre The Interpretation of Quantum Mechanics, par le présent auteur.
• [10]
  N. G. Van Kampen, Physica, 20, 603 (1954).
• [11]
  A. Daneri, A. Loinger, G.M. Prosperi, Nuclear Physics, 33, 297 (1962).
• [12]
  R.P. Feynman et F.L. Vernon, Jr, Annals of Physics (New York), 24, 118 (1963).
• [13]
  K. Hepp et E. H. Lieb, Helvetica Physica Acta, 46, 573 (1974) ; A. O. Caldeira et A. J. Leggett, Physica A, 121, 387 (1983).
• [14]
  M. Gell-Mann et J. B. Hartle, Physical Review, D 47, 3345 (1993).
• [15]
  R. Omnès, Physical Review, A 56, 3383 (1997).
• [16]
  Ces méthodes ont été rassemblées et présentées de façon synthétique par Roger Balian, voir R. Balian, Y. Alhassid et H. Reinhardt, Phys. Reports, 131, 1 (1986).
• [17]
  W. H. Zurek, Physical Review, D 24, 1516 (1981).
• [18]
  R. Omnès, Physical Review, A 65, 052119 (2002).
• [19]
  La question des probabilités négligeables. On s’est parfois interrogé sur le fait que, théoriquement, la décohérence n’est jamais terminée puisqu’il reste toujours des termes interférentiels d’ordre ε = exp(– μ(x – x′)² t). Quand on introduit des nombres dans les formules, on note d’abord que si l’on voulait s’assurer de l’effet de ces termes, il faudrait se livrer à des épreuves statistiques sur des systèmes identiquement préparés, en nombre au moins de l’ordre ε^{– 1}. Si, de plus, ces observations étaient réalisées par exemple avec l’aide d’un appareil photographique, on serait contraint d’éclairer le système pour l’observer et l’effet de décohérence dû à l’éclairement diminuerait encore énormément la probabilité d’observer un effet de l’ordre de ε, après quoi les nombreux pixels de mémoire ou les grains argentiques de l’appareil subiraient tous, individuellement, une décohérence due à leur propre matière. Tout cela apparaît donc hautement irréalisable. Nous nous rallierons donc au principe d’Émile Borel, un des fondateurs du calcul des probabilités moderne, qui considérait que ce genre de calcul n’a plus de signification quand les probabilités descendent très en dessous du détectable.
• [20]
  J. Clarke, A.N. Cleland, M.H. Devoret, D. Estève, J.M. Martinis, Science, 239, 992 (1988).