Notes

• [1]
  On définit souvent le « principe d’équivalence » comme l’affirmation de l’égalité de la masse d’inertie et de la masse gravitationnelle. La version de ce principe exposée ci-dessous est en fait une conséquence de cette égalité. Pour un exposé plus détaillé et une revue des vérifications expérimentales, le lecteur peut se reporter à l’article grand public de Giulini [2014], au livre de Poisson et Will [2014], chapitre 5, ou à la revue spécialisée de Will [2014].
• [2]
  Un champ de gravitation ou une accélération uniformes dans l’espace et le temps sont évidemment des idéalisations non physiques. Il faut donc considérer des régions de l’espace-temps suffisamment petites et remplacer « uniforme » par « localement uniforme ».
• [3]
  Il est possible d’effectuer un calcul exact de relativité restreinte pour une fusée rigide uniformément accélérée : voir par exemple Gourgoulhon [2010], chapitre 12. Le résultat exact, obtenu sans utiliser explicitement l’effet Doppler, est alors ν′ = ν(1 + gh/c²)⁻¹, ce qui coïncide avec (5.1) mais uniquement lorsque gh/c² ≪ 1.
• [4]
  Ce résultat nous permettra aussi de décrire dans le chapitre 7 la chute d’un astronaute dans un trou noir.
• [5]
  Un exemple classique est le tenseur diélectrique : si l’on applique un champ électrique à un milieu diélectrique anisotrope, la réponse, dans ce cas la polarisation du milieu, dépend de l’excitation externe, à savoir l’orientation du champ électrique, et cette polarisation n’est pas en général parallèle au champ.
• [6]
  On peut donner un sens mathématique précis à ce choix de coordonnées, souvent appelées « coordonnées normales de Fermi » : voir la section 2.6 et la figure 2.9.
• [7]
  L’argument n’est pas dimensionnel, car par exemple 1/r² ou (GM)²/ (rc)⁴ ont aussi les dimensions de l’inverse d’une longueur au carré.
• [8]
  Deux indices seulement interviennent dans un référentiel en chute libre, car deux des indices sont identiques et égaux à l’indice du temps : voir l’annexe 11.5. Dans un référentiel quelconque, les quatre indices sont nécessaires pour écrire la déviation géodésique.
• [9]
  Cependant, il peut arriver qu’un système de coordonnées qui semble couvrir a priori l’ensemble de l’espace-temps n’en couvre en fait qu’une partie. Nous en verrons un exemple au chapitre 7.
• [10]
  Plus précisément, la limite non relativiste des équations d’Einstein est l’équation de Poisson pour le potentiel gravitationnel et, nous l’avons vu, la limite non relativiste de la déviation géodésique est l’équation de Newton.
• [11]
  L’histoire des deux physiciens qui ont obtenu l’expression de la métrique est assez triste. Celle-ci fut écrite pour la première fois en 1915 par l’astrophysicien allemand Karl Schwarzschild, alors qu’il se trouvait sur le front russe comme officier de l’armée allemande et avait tout juste reçu une copie de l’article d’Einstein. Schwarzschild devait mourir quelques mois plus tard d’une maladie contractée sur le front. Cette métrique fut aussi découverte indépendamment en 1916 par le physicien néerlandais Johannes Droste, étudiant de Lorentz, mais pour des raisons qui n’ont jamais été élucidées, Lorentz ne communiqua pas le résultat à Einstein. Droste abandonna la recherche pour devenir professeur de lycée. Contrairement à une légende largement répandue, il y avait donc plus de trois personnes capables de comprendre Einstein, et ce dès 1916 ! Cette légende a pour origine l’anecdote suivante, réelle ou apocryphe. Un physicien, Ludwig Silberstein, affirma vers 1920 au célèbre astronome anglais Eddington :« Il y a seulement trois personnes au monde capables de comprendre la relativité générale », sous-entendu Einstein, Eddington… et lui-même, ce à quoi Eddington répondit « Ah bon, quelle est la troisième ? ».
• [12]
  Il est curieux qu’Einstein n’ait pas découvert lui-même cette métrique. Cela s’explique vraisemblablement par le fait qu’Einstein se concentrait sur les solutions perturbatives de la relativité générale, reposant sur des développements en puissances de v/c.
• [13]
  Dans ce cas, un terme en Δt Δr serait possible dans la métrique, mais il peut être éliminé par un changement de coordonnées.