Chapitre 6. Equations différentielles ; systèmes dynamiques

Une équation différentielle (E.D.) ordinaire d’ordre n se présente comme une relation, en général non linéaire, entre une fonction d’une variable et ses dérivées d’ordre 1, ···, n. La résoudre consiste traditionnellement à en donner la solution générale, mais ceci est rarement réalisable à part quelques cas classiques, et fait perdre de vue l’information “codée” par les E.D. en physique. C’est pourquoi il est utile de commencer par l’approche qualitative et géométrique des systèmes dynamiques (où la variable est le temps). Cette approche repose sur la propriété d’un système d’E.D. d’ordres quelconques d’être équivalent à une E.D. “vectorielle” du premier ordre décrivant le mouvement d’un point dans l’espace de phase. Elle met en valeur le rôle important des conditions initiales (C.I.). On verra que, lorsque la variable est l’espace, ce rôle est tenu plutôt par les conditions aux limites (C.L.).
Quand une solution évidente est connue (par exemple l’état de repos pour un pendule), il est naturel de s’intéresser à l’ E.D. satisfaite au premier ordre par une perturbation (petites oscillations). C’est pourquoi les E.D. linéaires (E.D.L.) jouent un rôle privilégié. On étudiera leurs propriétés, non seulement lorsque les coefficients sont constants, cas des E.D.L. stationnaires (E.D.L.S), avec la notion de mode propre stable ou instable, mais aussi dans le cas général, avec la notion de matrice de transfert. L’approche linéaire ayant ses limites, on étudiera enfin quelques méthodes, notamment la méthode de…