Chapitre 7. Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

Les fonctions de plusieurs variables apparaissent dès qu’on fait de la géométrie dans l’espace (par exemple pour décrire en optique des surfaces d’onde et les rayons qui leurs sont orthogonaux), ou qu’on considère des grandeurs (champs) dèpendant de l’espace et du temps. Les notions de gradient (de champs scalaires), de divergence ou rotationnel (de champs vectoriels), de dérivée dans une direction ou en suivant le mouvement, etc. sont des outils naturels d’analyse “locale” des champs. Ils trouvent de nombreuses applications en particulier en hydrodynamique. Cette description différentielle est reliée par les théorèmes de Stokes et d’Ostrogradski à une description intégrale basée sur les notions plus intuitives (déjà vues au chapitre 3) de circulation et de flux. Cette approche “globale” plus générale (prise en compte des discontinuités), et moins technique, est bien adaptée aux bilans de grandeurs et à une introduction à l’électromagnétisme.
Un exemple classique qui concerne des variables non spatio-temporelles est la thermodynamique des états d’équilibre où l’étude expérimentale des formes différentielles “chaleur” δQ et travail δW a joué un rôle historique pour la découverte des grandeurs énergie interne U et entropie S (premier et second principes). Même si l’approche moderne a radicalement changé (cf. section 1.1.4), le calcul différentiel reste un outil nécessaire, notamment pour déterminer les états d’équilibre (extremum de “potentiels”) et maîtriser les changements entre les nombreux choix possibles de variables indépendantes…