Chapitre 5. Dérivation

Cette limite est alors appelée nombre dérivé de f en a et elle est notée f’(a). Si f est dérivable en a, on écrit f’(a) = limx→a \frac{f(x)-f(a)}{x-a} ou de façon équivalente f’(a) = limh→0 \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. Il faudra choisir l’écriture qui convient le mieux au problème.
Exemples
Soit :
Soit a ∈ ℝ* +. On va montrer que f est dérivable en a et que f’(a)= \frac{1}{2 \sqrt{a}}.Eneffet :
car a ≠ 0.
Donc f est dérivable en a puisque \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} existe et on a f’(a) = \frac{1}{2 \sqrt{a}}.
Interprétation géométrique :
Soit Γ le graphe de la fonction f. L’équation de la droite (D) passant par les deux points A (a, f (a)) et M (a + h, f (a + h)) est donnée par :
Lorsque « le point M tend vers le point A » tout en restant sur Γ, la droite (D) tend vers la droite (T) appelée tangente à Γ au point A et dont l’équation est :
c’est-à-dire :
Le nombre dérivé de f en a s’interprète donc comme la pente de la tangente à Γ au point a.
En économie, f’(a) est la valeur marginale de f en a. Par exemple, si C(q) est le coût total pour une production, q, C’(q) est le coût marginal. Les praticiens assimilent cette limite au quotient \frac{C(q+1)-C(q)}{1} à condition que q soit assez grand. Ils disent alors que le coût marginal est le supplément de coût entraîné par la fabrication d’une unité supplémentaire.
Attention ! Ceci ne sera pas vrai pour les fonctions de plusieurs variables…