Chapitre 4. Fonctions réelles d’une variable réelle

ce qui s’écrit :
ce qui se comprend : f (x) est aussi voisin qu’on le veut de l pourvu que x soit assez voisin de a et x ≠ a.
COMMENTAIRE On peut montrer que la définition 1 et la définition 2 sont équivalentes. Ainsi les propriétés des limites des fonctions seront obtenues à partir des propriétés des limites des suites.
L’existence et la valeur de l=\lim _{x \rightarrow a} f(x) dépendent du comportement local de f autour de a, mais pas de la valeur éventuelle de f au point a.
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=l \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow a}|f(x)-l|=0.
ce qui s’écrit \lim _{x \rightarrow a} f(x)=l_1 \text { ou } \lim _{x \rightarrow a, x<a} f(x)=l_1
ce qui s’écrit \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=l_2 \text { ou } \lim _{x \rightarrow a, x>a} f(x)=l_2
COMMENTAIRE On peut écrire les définitions équivalentes via le langage des suites.
l_1=\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x), l_2=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x). On constate :
a) Dans les trois cas de figure, f n’admet pas de limite au point a, bien qu’elle admette une limite à gauche l 1 et une limite à droite l 2.
b) l 1 (respectivement l 2) limite de f à gauche de a (respectivement à droite de a)ne dépend pas de la valeur de au point a.
La proposition suivante fait le lien entre la notion de limite et celle de limite à gauche, limite à droite.
Il est clair que \lim _{x \rightarrow a} f(x)=…