Chapitre 3. Suites et séries numériques

Illustrons par des exemples cette notion de suite.
Considérons un capital C placé à un taux i durant un nombre n d’années, les intérêts étant incorporés au capital à la fin de chaque année. La valeur acquise à la fin de la première année de placement sera notée x 1, celle acquise à la fin de la 2e année x 2,… celle acquise à la fin de la n-ième année, xn .
On a :
On obtient donc une fonction qui à chaque année n associe la valeur acquise à la fin de cette année. Cette fonction est une suite :
On la notera (xn ) n . Elle intervient en économie et en finance quand on travaille avec des intérêts composés.
Dans cet exemple, le temps était divisé en années. On pourrait envisager de le diviser en mois ou jours ou minutes ou secondes… et ainsi voir le comportement de notre fonction appelée suite lorsque l’intervalle de temps devient de plus en plus petit, et le nombre d’intervalles devient de plus en plus grand.
Examinons ce que devient au bout d’un an un capital de 1000000 euros placé respectivement aux taux : annuel de 7 %, semestriel de\frac{7}{2} \%, trimestriel de \frac{7}{4} \%, mensuel de \frac{7}{12} \% hebdomadaire de \frac{7}{52} \%, quotidien de \frac{7}{365} \%… et notons y 1, y 2, y 4, y l2, y 52, y 365 les valeurs acquises. On a :
Apparaît alors la relation suivante où n est le nombre d’intervalles de temps égaux et yn la valeur acquise au taux \frac{7}{n} \% au bout d’un an :
Ainsi est définie une application :
Il paraît naturel de vouloir étudier « le comportement limite » d…