Chapitre 6 : Méthodes sur les vecteurs

On donne les points et . On considère le point . Construire l’image M’ du point M par la translation de vecteur . Parmi les vecteurs ci-dessous, en déterminer deux qui sont égaux. Placer le point Z vérifiant où A, B, C, E et F sont les points du quadrillage ci-dessous : Simplifier :
a)
b)
c) La droite d’Euler. Soit ABC un triangle. Soit I = mil[AB], J = mil [BC] et K = mil [CA]. On se propose de démontrer quel’orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC sont alignés.
Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Soit G le centre de gravité du triangle ABC.
a) Démontrer que (on utilisera le fait que G est aux deuxtiers de chaque médiane en partant du sommet. Voir rappels du chapitre 8).
Soit H le point défini par .(Attention, on crée un point H destiné à devenir l’orthocentre, on ne sait pas encore qu’il l’est, on se charge de le démontrer dans la question b). Cette façon de faire très artificielle portera ses fruits : elle sera expéditive comme on le verra dans la question c)).
b) Démontrer que et que donc H est l’orthocentre du triangle ABC.
c) Démontrer que et en déduire que O, H et G sont alignés. On donne .
Exprimer en fonction de et les vecteurs suivants :
a)
b)
c)
d) Simplifier les expressions suivantes :
a)
b) Soient
a) Montrer que ABDC est un parallélogramme.
b) Montrer que EFHG est un trapèze (on rappelle qu’un trapèze est un quadrilatère qui possède deux côtés parallèles)…