5. Nombres complexes
- Par Claude Deschamps,
- François Moulin,
- Yoann Gentric,
- Maxime Bourrigan,
- Emmanuel Delsinne,
- François Lussier,
- Chloé Mullaert,
- Serge Nicolas,
- Jean Nougayrède,
- Claire Tête
- et Michel Volcker
Pages 151 à 201
Citer ce chapitre
- DESCHAMPS, Claude,
- MOULIN, François,
- GENTRIC, Yoann,
- BOURRIGAN, Maxime,
- DELSINNE, Emmanuel,
- LUSSIER, François,
- MULLAERT, Chloé,
- NICOLAS, Serge,
- NOUGAYRÈDE, Jean,
- TÊTE, Claire
- et VOLCKER, Michel,
- Deschamps, Claude.,
- et al.
- Deschamps, C.,
- Moulin, F.,
- Gentric, Y.,
- Bourrigan, M.,
- Delsinne, E.,
- Lussier, F.,
- Mullaert, C.,
- Nicolas, S.,
- Nougayrède, J.,
- Tête, C.
- et Volcker, M.
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- Deschamps, C.,
- Moulin, F.,
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- Delsinne, E.,
- Lussier, F.,
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- MOULIN, François,
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- DELSINNE, Emmanuel,
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- NICOLAS, Serge,
- NOUGAYRÈDE, Jean,
- TÊTE, Claire
- et VOLCKER, Michel,
Dans son Ars Magna (1545), Jérôme Cardan (1501-1576) donne une formule permettant d’exprimer algébriquement la racine réelle de l’équation x3 + p x + q = 0 dans le cas où -\Delta=4 p^3+27 q^2>0, racine qui vaut alors :
Par la suite, Raphaël Bombelli eut l’audace de vouloir appliquer cette formule à l’équation x3 = 15 x + 4 pour laquelle on a ∆ = 121 × 108 et imagina un nombre que l’on noterait aujourd’hui \sqrt{-1} dont le carré est égal à – 1. Il obtint ainsi :
En utilisant avec ce \sqrt{-1} les mêmes règles de calcul que dans IR, il trouva :
puis x=(2+\sqrt{-1})+(2-\sqrt{-1})=4, qui est effectivement racine de l’équation donnée.
Leonhard Euler (1707-1783) a introduit la notation i pour représenter un tel nombre dont le carré vaut −1. C’est cette notation que l’on utilise encore de nos jours, puisque les nombres complexes sont maintenant notés x + i y avec x et y réels.La construction de l’ensemble des nombres complexes est hors-programme. On admet donc qu’il existe un ensemble ℂ contenant IR,
muni d’une addition notée + et d’une multiplication notée ×, ou le plus souvent implicitement (c’est-à-dire sans symbole, comme dans IR), avec lesquelles on calcule comme dans IR,
possédant un élément noté i dont le carré vaut −1,
dont tout élément, appelé nombre complexe ou complexe, s’écrit de manière unique sous la forme x + i × y ou encore x + i y, avec x et y réels.
Ainsi :
pour tout élément z de ℂ, il existe un unique couple (x, y) ∈ I…
Date de mise en ligne : 05/06/2025
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