Chapitre 16. Déterminants (PCSI-PTSI option PSI)

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Calculer les déterminants suivants (on donnera, si possible le résultat sous forme factorisée) :Soient a, b, c ∈ ℝ. Calculer les déterminants suivants :1. D_{\mathbf{1}}=\left|\array{ a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b }\right|2. D_2=\left|\array{ a+b & b+c & c+a \\ a^2+b^2 & b^2+c^2 & c^2+a^2 \\ a^3+b^3 & b^3+c^3 & c^3+a^3 }\right|3. D_3=\left|\array{ 1 & 1 & 1 \\ \cos a & \cos b & \cos c \\ \sin a & \sin b & \sin c }\right|.
Déterminer les valeurs de λ ∈ ℂ pour lesquelles la matrice M(\lambda)=\left(\array{ 3-\lambda & -1 & 1 \\ 7 & -5-\lambda & 1 \\ 6 & -6 & 2-\lambda }\right) est inversible.
Soit n un entier naturel non nul. On considère la matrice carrée An définie par :
Pour n ≥ 1, on désigne par Dn le déterminant de An.1. Montrer que, pour tout n ≥ 1, Dn+2 = 2Dn+1 − Dn.2. En déduire l’expression de Dn en fonction de n, pour n ∈ ℕ∗.
On considère la matrice A=\left(\array{ 0 & a & 1 \\ a & 0 & 1 \\ a & 1 & 0 }\right), où a est un réel.
Déterminer le rang de A.
Soient a, b, c, x ∈ ℝ.
Calculer le déterminant :
Pour tout A de \mathcal{M}_2(\mathbb{C}), on pose \array{ \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) & \longrightarrow & \mathcal{M}_2(\mathbb{C}). \\ M & \longmapsto & A M }1. Calculer le déterminant d…