Chapitre 17. Intégration

Remarque
Soit [a; b] ⊂ ℝ.
Si f est positive sur [a; b], on interprète géométriquement, le réel \int_a^b f(t)~\mathrm{d} t comme l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe Cf, l’axe des abscisses, et les droites d’équation x = a et x = b.
Si f est négative, cette intégrale est l’opposé de l’aire du domaine.
Si f change de signe sur [a; b] : on ”découpe” [a; b] en segments où f est de signes constants, et on ajoute les intégrales (on fait donc la somme algébrique des aires, comptées positivement si la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses, négativement sinon.
On en déduit :Remarque
Cette proposition correspond à un calcul approché d’intégrale par la méthode des rectangles (cf cours et TP d’informatique).
Cette inégalité est valable que f soit à valeurs dans ℝ ou ℂ.
Retrouvez ici toutes les méthodes indispensables pour mieux appréhender les exercices et utiliser le cours.
Soient I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos t}{\cos t+\sin t} \mathrm{~d} t \text { et } I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin t}{\cos t+\sin t} \mathrm{~d} t1. Calculer I1 + I2.2. Calculer I1 − I2.3. En déduire la valeur de I1 et de I2.Déterminer les primitives suivantes, sur un intervalle que l’on précisera :1. \int \frac{\ln t}{t} \mathrm{~d} t.2. \int \frac{\sin t}{\cos ^3 t} \mathrm{~d} t3. \int \sin ^3 t \mathrm{~d} t4. \int \frac{t^2}{1+t^3} \mathrm{~d} t5. \int \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \mathrm{~d} t.6. \int \frac{t+2}{t+1} \mathrm{~d} t.7. \int \tan t \mathrm{~d} …